dubbio funzione esponenziale

[Mok]

Ciao a tutti con l'esame alle porte e ancora tanti dubbi..mi sono imbattuta in un esercizio all'apparenza semplice:
"Calcola l'area della porzione di piano compresa tra l'asse x ed il grafico y=xe^(x) in [-1,+1]"
ora visto che e^x è sempre positivo per ogni x appartenente ad R...pensavo che lo svolgimento sarebbe stato:
$ int_(-1)^(1) (xe^x) dx $
invece no...nella soluzione dell'esercizio lui mette il modulo all'inteno dell'integrale...la mia domanda è:
sapendo che e^x è sempre positivo per ogni x appartenente ad R..in teoria dovrebbe essere positivo anche dall'intervallo di integrazione [-1,+1]..perchè allora mette il modulo se tutta la funzione considerata è positiva?

[gugo82]

Non mi pare che l’integrando sia positivo in tutto l’intervallo di integrazione.

[pilloeffe]

Eh, mi sa che ha ragione gugo82...

in teoria dovrebbe essere positivo anche dall'intervallo di integrazione [-1,+1]

Per confutare questa tua affermazione basta che assumi $\bar x = - 1/2 \in [- 1, 1] $ e dovresti accorgerti subito che per tale valore di $x $ la funzione integranda è negativa...
Quindi la soluzione corretta è proprio col modulo:

$ \int_{-1}^{1} |xe^x| dx = \int_{-1}^{0} -xe^x dx + \int_{0}^{1} xe^x dx = - [e^x (x - 1)]_{-1}^{0} + [e^x (x - 1)]_{0}^{1} = $
$ = - [- 1 + 2 e^{- 1}] + 1 = 2 - 2 e^{- 1} = 2 - 2/e = 2(1 - 1/e) = 2 \frac{e - 1}{e} $