Perfetto, ti ringrazio.
Era per mettere ordine alle idee, allora utilizzerò sempre la definizione che hai riportato tu in cui posso parlare di punto di accumulazione e poi da quella far discendere la definizione tramite h (come "semplificazione").
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In realtà capiti a fagiuolo perché vorrei poterti porre un'altra domanda (anzi modifico il titolo così rimane più corretto)
Non so se ricorderai ma ne parlammo qualche tempo fa di sfuggita, provo a spiegare...
In questi giorni mi sono studiato il corollario del teorema della permanenza del segno il quale afferma che se la funzione assume in un intorno di un punto di accoumulazione per il suo dominio dei valori positivi (o negativi rispettivamente) ed esiste il limite di tale funzione.
Allora tale limite deve per forza essere positivo.
Ho visto la dimostrazione e capita, mi pare
.
Questa dimostrrazione è necessaria infatti come mi spiegavi tu in effetti non è per nulla scontato che se abbiamo f(x)>qualcosa -> applicando ad ambo i membri la stessa "operazione" si mantenga valida la disequazione. (in questo caso applico il passaggio al limite).
Ad esempio:
] come dicevamo in un'altra discussione $f(x)>g(x)$ non è detto che $f'(x)>g'(x)$ siano verificte per gli stessi valori di $x$
] Identicamente se non fosse stato dimostrato col teorema precedente non era pernulla scontato che se $f(x)>=0$ allora applicando il limite ad ambo i membri si sarebbe avuto $lim_(x->c) f(x)>=lim_(x->c) 0=lim_(x->c) f(x)>=0$
Tuttavia non capisco perché per le equazioni non servano tali dimostrazioni, in realtà i principi di equivalenza per le equazioni sono solo due da che ricordi dalla prima superiore:
per somma/differenza membro a membro
per moltiplicazione/divisione membro a membro
Mentre spesso si da per scontato senza dimostrare che
] $f(x)=g(x)=>f'(x)=g'(x)$
] oppure altro esempio, che: $f(x)=g(x)$ passando ai limiti si ha sicuramente$lim_(x->c) f(x)=lim_(x->c) g(x)$ si da per scontato sia valida sicuramente senza dimostrarlo come nel corollario di cui parlavo sopra.
Cioè che applicando membro a membro lo stesso "Passaggio al limite" si mantenga valida l'equaizone, ma perché?