Alcuni dubbi accumulati nello studio di analisi

[vastità]

Ho un dubbio che riguarda la definizione di derivata.

Si chiama derivata il limite al tendere di h->0 del rapporto incerementale

$f'(x_0)=(f(x_0+h)-f(x_0))/h$

Quel che non riesco bene a capire è che la definizione di limire richiede che se x->c, c sia un punto di accumulazione.
Definendo la derivata a partire dall'incremento h, 0 non è il punto di accumulazione per il dominio di f.
Non capisco dove sia nascosta questa ipotesi in questo tipo di definizione.

Grazie per i vostri chiarimenti.

[axpgn]

Basta prendere la definizione "vera" di derivata (meglio precisare che sto scherzando se no mi massacrano )

$f'(x_0) = lim_(x->x_0) (f(x)-f(x_0))/(x-x_0)$

Poi sostituisci $x=x_0+h$

Cordialmente, Alex

[vastità]

Ciao alex:)
Quindi nel definire la derivata tramite incremento h dovrei dire:

Si chiama derivata il limite finito, al tendere di h->0 del rapporto incerementale, con x_0 di accumulazione per il dominio di f
$f'(x_0)=(f(x_0+h)-f(x_0))/h$

Non capisco perché venga sempre non precisato nei libri.

[axpgn]

Mah ... io ho sempre visto la definizione come l'ho scritta io e POI semplificata con la sostituzione ... (invero in testi "elementari" ... e a dirla tutta, cosa fosse un "punto di accumulazione" l'ho imparato "da grande" ... )

Cordialmente, Alex

[vastità]

Perfetto, ti ringrazio.
Era per mettere ordine alle idee, allora utilizzerò sempre la definizione che hai riportato tu in cui posso parlare di punto di accumulazione e poi da quella far discendere la definizione tramite h (come "semplificazione").
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In realtà capiti a fagiuolo perché vorrei poterti porre un'altra domanda (anzi modifico il titolo così rimane più corretto)
Non so se ricorderai ma ne parlammo qualche tempo fa di sfuggita, provo a spiegare...

In questi giorni mi sono studiato il corollario del teorema della permanenza del segno il quale afferma che se la funzione assume in un intorno di un punto di accoumulazione per il suo dominio dei valori positivi (o negativi rispettivamente) ed esiste il limite di tale funzione.
Allora tale limite deve per forza essere positivo.

Ho visto la dimostrazione e capita, mi pare .
Questa dimostrrazione è necessaria infatti come mi spiegavi tu in effetti non è per nulla scontato che se abbiamo f(x)>qualcosa -> applicando ad ambo i membri la stessa "operazione" si mantenga valida la disequazione. (in questo caso applico il passaggio al limite).

Ad esempio:
] come dicevamo in un'altra discussione $f(x)>g(x)$ non è detto che $f'(x)>g'(x)$ siano verificte per gli stessi valori di $x$
] Identicamente se non fosse stato dimostrato col teorema precedente non era pernulla scontato che se $f(x)>=0$ allora applicando il limite ad ambo i membri si sarebbe avuto $lim_(x->c) f(x)>=lim_(x->c) 0=lim_(x->c) f(x)>=0$

Tuttavia non capisco perché per le equazioni non servano tali dimostrazioni, in realtà i principi di equivalenza per le equazioni sono solo due da che ricordi dalla prima superiore:
per somma/differenza membro a membro
per moltiplicazione/divisione membro a membro

Mentre spesso si da per scontato senza dimostrare che
] $f(x)=g(x)=>f'(x)=g'(x)$
] oppure altro esempio, che: $f(x)=g(x)$ passando ai limiti si ha sicuramente$lim_(x->c) f(x)=lim_(x->c) g(x)$ si da per scontato sia valida sicuramente senza dimostrarlo come nel corollario di cui parlavo sopra.

Cioè che applicando membro a membro lo stesso "Passaggio al limite" si mantenga valida l'equaizone, ma perché?

[axpgn]

Mi pare che tu faccia di tutta l'erba un fascio ovvero generalizzi un po' troppo ...
La Matematica è un gioco che ha qualche (poche) regole di base (chiamale "assiomi" se vuoi) e tutto il resto lo ricavi da queste (se sei bravo ).
Tutto quello che ricavi, va dimostrato, ma proprio tutto; il fatto che tu non lo trovi sui libri non significa che non sia stato dimostrato da qualcuno qualche tempo addietro ...
Il fatto di non trovare tutte le dimostrazioni sui libri non implica che i libri siano necessariamente mal fatti (anche quella è un'eventualità, certamente ...) ma più semplicemente dipende dal taglio dato, dal contesto, dal pubblico a cui sono rivolti, ecc, talvolta anche dallo stimolare il lettore a trovare da solo la dimostrazione ... IMHO
A mio parere, quando hai qualche dubbio, è meglio che ti focalizzi su quello prima di generalizzare (non che sia per forza sbagliato, eh ... altrimenti kb s'arrabbia ... )

Peraltro negli ultimi due esempi che fai mi pare ci sia poco da dimostrare: se parti dall'ipotesi che $f(x)=g(x)$ ovvero che per OGNI valore di $x$ (ammissibile) le due funzioni "producono" lo stesso effetto (cioè $y=f(x)=g(x)=z$), non vedo motivo perché le due derivate o i due limiti debbano essere diversi ... isn't it?

Cordialmente, Alex

[anto_zoolander]

non è che $ f(x)=g(x)=>f'(x)=g'(x) $ si da per scontato, ma

$(f(x)-f(x_0))/(x-x_0)=(g(x)-g(x_0))/(x-x_0)$

è più che scontato essendo $g(x)=f(x)$

[vastità]

La Matematica è un gioco che ha qualche (poche) regole di base (chiamale "assiomi" se vuoi) e tutto il resto lo ricavi da queste (se sei bravo )

E' quel "if" che mi frega
Mi piacerebbe migliorare infatti (sperando si possa migliorare pur non avendo grandi capacità) ed ecco perché ho ripreso in mano tutto daccapo cercando di mettere ordine agli studi fin qui svolti, mi affascina tanto pur essendo una capra e trovandomi con questi dubbi così banali.

In ogni caso grazie per tutte le risposte e grazie anche a te antozoolander