Ho svolto correttamente il seguente integrale?

[Marco Beta2]

Salve a tutti, sto studiando da zero (purtroppo per mia colpa) matematica per sostenere il relativo esame all'università e mi sono imbattutto in questo esercizio:

$ int 2 tg(x)*(tg^2 (x) + 1) dx = tg^2(x)+c $

sto seguendo il libro delle superiori per "farmi l'occhio" sulle varie casistiche e questo esercizio propone di svolgerlo con le formule generalizzate altrimenti lo avrei fatto per sostituzione... Il mio ragionamento è stato quello di vedere:

$ 2 tg(x)= f'(x) $

$ (tg^2(x) + 1) = f(x) $


da qui ho applicato la formula: $ int [f(x)]^n*f'(x) dx = [f(x)]^(n+1)/(n+1) +c $ e con i dovuti passaggi ho semplificato ed ottenuto il risultato del libro.
Il mio procedimento secondo voi è corretto? O dovevo passare per $ sec^2(x) $ visto che è la derivata di $ tg^2 (x) +1$ ?

[feddy]

Per il teorema della derivazione della funzione composta, il tuo ragionamento non va bene perché come hai (quasi) notato alla fine se definisci $f=\tan^{2}(x) + 1$, allora ovviamente $f' = 2 \tan(x)* \frac{1}{\cos^{2}(x)}= \ldots$

[Marco Beta2]

Per il teorema della derivazione della funzione composta, il tuo ragionamento non va bene perché come hai (quasi) notato alla fine se definisci $f=\tan^{2}(x) + 1$, allora ovviamente $f' = 2 \tan(x)* \frac{1}{\cos^{2}(x)}= \ldots$

Grazie per la risposta... alla fine, anche su consiglio di un mio amico, ho optato per la seguente soluzione che sfrutta l'identità $ tg^2 (x) +1 = sec^2 (x) $ :

$2 int tg (x) * sec^2 (x) dx = 2*(tg^2)/2 = tg^2 x +c $

una volta risolto era più facile di quanto sembrava spero di non aver fatto errori e che la soluzione/ragionamento sia utile anche ad altri utenti

[feddy]

Di nulla, comunque

[...] spero di non aver fatto errori [...]

puoi verificarne la correttezza derivando la primitiva trovata.

Buono studio

[pilloeffe]

Ciao Marco Beta2,

La tua idea iniziale di usare la formula

$ \int [f(x)]^n*f'(x) dx = [f(x)]^(n+1)/(n+1) + c $

comunque è buona, solo che hai sbagliato le posizioni, perché quella corretta è $ f(x) := tan(x) \implies f'(x) = 1/cos^2(x) = \frac{sin^2(x) + cos^2(x)}{cos^2(x)} = tan^2(x) + 1 = sec^2(x) $

per cui si ha:

$ \int 2 tan(x)[tan^2 (x) + 1] dx = 2 \int tan(x)[tan^2 (x) + 1] dx = 2 \cdot \frac{[tan(x)]^{1 + 1}}{1 + 1} + c = tan^2(x) + c $