Teorema di Leibniz II

Messaggioda alb23 » 18/07/2018, 15:42

Cerco la dimostrazione completa del Teorema di Leibniz II. Non ho trovato approfondimenti al riguardo.

TEOREMA
Enunciato:
Sia $\sum_{n=1}^(+infty) (-1)^n a_n$ una serie numerica alternante. Supponiamo che $a_(n+1) > a_n >0$ $AA n in NN$. Allora la serie è oscillante e infinitamente grande.
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Re: Teorema di Leibniz II

Messaggioda gugo82 » 18/07/2018, 22:37

Non l'avevo mai visto questo risultato.
D'altra parte, se è vero, credo si dimostri ragionando come per dimostrare il Criterio di Leibniz classico, cioè considerando le somme parziali d'indice dispari e quella d'indice pari.

Prova. :wink:
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Re: Teorema di Leibniz II

Messaggioda alb23 » 20/07/2018, 08:51

Ho provato a dimostrare il teorema, approfondendo vari argomenti e confrontandolo con il primo teorema di Leibniz. Sono arrivato ad una conclusione, credo sia corretta. Si dovrebbe modificare qualcosa? Grazie.

DIMOSTRAZIONE
Inizio a studiare le varie successioni delle somme parziali, sia di posto pari che di posto dispari.
Studio la successione delle somme parziali di posto pari.
$S_(2n+2) - S_(2n) = a_(2n+2) - a_(2n+1) > 0$ ; $S_(2n+2) > S_(2n)$
Quindi ${S_(2n)}$ è crescente.
Studio la successione delle somme parziali di posto dispari.
$S_(2n+1) - S_(2n-1) = -a_(2n+1) + a_(2n) < 0$ ; $S_(2n+1) < S_(2n-1)$
ovvero ${S_(2n+1)}$ è descrescente.
Le due estratte sono divergenti a $+infty$ e a $-infty$ rispettivamente
$...<=S_(2n-1)<=...<=S_3<=S_1<=S_2<=S_4<=...<=S_(2n)<=...$
da cui la tesi.
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Re: Teorema di Leibniz II

Messaggioda gugo82 » 20/07/2018, 09:21

Il problema è: perché quelle due successioni lì sono divergenti?
Non mi pare che la divergenza segua dalle ipotesi...

Ed infatti non lo fa.
Prendi $a_n:=1 - 1/2^n$, che è una successione positiva e crescente, e considera $sum (-1)^n a_n$.
Dette $s_n$ le somme parziali di tale serie e $sigma_n$ le somme parziali della serie geometrica di ragione $-1/2$, hai:
\[
s_n = \begin{cases}
1 - \sigma_n &\text{, se $n$ è pari}\\
-\sigma_n &\text{, se $n$ è dispari}
\end{cases}
\]
e, visto che $sigma_n$ converge, $s_n$ è limitata.
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Re: Teorema di Leibniz II

Messaggioda alb23 » 20/07/2018, 09:56

Quindi la dimostrazione è sbagliata o incompleta? Devo aggiungere questo passaggio? Il fatto è che ho provato io a dimostrare il teorema. Una traccia o una dimostrazione già svolta non l'ho trovata. Solo qualcosa di simile a quello che avevo scritto.
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Re: Teorema di Leibniz II

Messaggioda Delirium » 20/07/2018, 10:57

gugo82 ha scritto:[...] Prendi $a_n:=1+1/2^n$, che è una successione positiva e crescente [...]

Crescente?
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Re: Teorema di Leibniz II

Messaggioda gugo82 » 20/07/2018, 12:28

Ho sbagliato il segno... Conto fatto a volo in treno. :lol:

Ho modificato ciò che era da modificare.

@alb23:
alb23 ha scritto:Quindi la dimostrazione è sbagliata o incompleta? Devo aggiungere questo passaggio? Il fatto è che ho provato io a dimostrare il teorema. Una traccia o una dimostrazione già svolta non l'ho trovata. Solo qualcosa di simile a quello che avevo scritto.

Il controesempio che ho postato ti mostra che il "teorema" che vuoi dimostrare è falso. Quindi il problema non risiede nella dimostrazione, completa o incompleta, ma nelle ipotesi, che sono troppo poche e non consentono di ottenere il risultato.

Sei sicuro delle ipotesi?
Da dove le hai prese? (Tu stesso dici che non hai trovato questa cosa su un libro... Quindi dove?)
Non è che hai tralasciato di scrivere qualche ipotesi nell'OP? (Tipo $a_n -> +oo$, ad esempio...)
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Re: Teorema di Leibniz II

Messaggioda alb23 » 20/07/2018, 13:53

L'enunciato del teorema di Leibniz II è corretto, come scritto nel libro di Analisi I che utilizzo per studiare e consigliato dal prof. Non sono riuscito a trovare una dimostrazione per questo teorema, sto provando a dimostrarlo io. Nel libro è presente l'enunciato che ho scritto precedentemente e una breve dimostrazione:

DIMOSTRAZIONE
Si procede come nel Teorema di Leibniz I tranne che per il tipo di monotonia delle due successioni. Stavolta ${S_(2n)}$ è crescente mentre ${S_(2n+1)}$ decrescente. Da ciò segue che le due estratte sono divergenti a $-infty$ e $+infty$ rispettivamente.

La dimostrazione che ho scritto prima l'ho fatta seguendo questa dicitura. Cercavo una dimostrazione completa per confrontarla ed esserne sicuro che sia corretta.
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Re: Teorema di Leibniz II

Messaggioda gugo82 » 20/07/2018, 14:32

Che libro è?
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Re: Teorema di Leibniz II

Messaggioda alb23 » 21/07/2018, 14:21

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