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Ciao a tutti, ho una difficoltà nella dimostrazione della disuguaglianza AM-GM per due numeri positivi. Siano \(\displaystyle \alpha,\beta\in\mathbb{R} \), \(\displaystyle p>1 \) e $q$ tale che \(\displaystyle 1/p+1/q=1 \). Siccome \(\displaystyle u=t^{p-1} \) implica \(\displaystyle t=u^{q-1} \) graficamente si ha la disuguaglianza \[\displaystyle \alpha\beta\le \int_0^\alpha t^{p-1}\mathrm{d}t+\int_0^\beta u^{q-1}\mathrm{d}u= \alpha^p/p+\beta^q/q. \] Scelgo \(\displaystyle p=2 \) e come conseguenza della relazione precedente \(\displaystyle q=p=2 \): sostituendo nella disuguaglianza, \[\displaystyle \alpha\beta\le \alpha^2/2+\beta^2/2=\frac{\alpha^2+\beta^2}{2}. \] Estraendo la radice quadrata di entrambi i membri, si ottiene quindi \[\displaystyle \sqrt{\alpha\beta}\le 1/\sqrt{2} \sqrt{\alpha^2+\beta^2}\le 1/\sqrt{2}(|\alpha|+|\beta|)=1/\sqrt{2}(\alpha+\beta).\] Il problema ovviamente è che per completare la dimostrazione devo restare con un fattore di \(\displaystyle 1/2 \), non \(\displaystyle 1/\sqrt{2} \). Come ci posso arrivare?

Prima di estrarre la radice si può aggiungere $\alpha \beta$ ad entrambi i membri della disequazione.

In effetti così facendo \(\displaystyle 2\alpha\beta\le (\alpha^2+\beta^2+2\alpha\beta)/2=(\alpha+\beta)^2/2 \) da cui la disuguaglianza estraendo le radici quadrate. Non ci avevo proprio pensato, grazie.

Perché usare i cannoni quando bastano due righe?

Perché l'esercizio viene da un testo di analisi funzionale