Vi riporto la sezione del testo Luigi Amerio, analisi matematica volume secondo.
Innanzitutto chiarisco la notazione: indichiamo con $P_T$ lo spazio vettoriale delle funzioni $f(x)$ generalmente continue nell'intervallo $[0,T]$, assolutamente integrabili in $[0,T]$ e periodiche di periodo $T$; indichiamo inoltre con $\{c_n(f)}$ la successione dei coefficienti di Fourier relativi a $f$.
Consideriamo
$$Tc_n(f)=\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(x)e^{-inx\frac{2\pi}{T}}dx$$
con $n\in\mathbb{Z}$.
Consideriamo ora, sull'asse reale $\mathbb{R}$, la successione $\{\lambda_{n,T}}$ dei multipli, positivi e negativi, di $\frac{1}{T}$:
$$\lambda_{n,T}=\frac{n}{T}$$
con $n\in\mathbb{Z}$. Si ha
$$\lambda_{n+1,T}-\lambda_{n,T}=\frac{1}{T}$$
quantità infinitesima al divergere di $T$.
Si prenda, ad arbitrario, $\lambda\in\mathbb{R}$: esiste, per ogni $T>0$, un intero $n_T$ tale che sia
$$\frac{n_T}{T}\leq\lambda<\frac{n_T+1}{T}$$
da cui segue
$$\lim_{T\to+\infty}\frac{n_T}{T}=\lambda$$
Per $n=n_T$ si ottiene da $Tc_n(f)$
$$Tc_{n_T}(f)=\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(x)e^{-in_Tx\frac{2\pi}{T}}dx$$
Indichiamo ora con $P_\infty$ lo spazio vettoriale formato dalle funzioni $f(x)$ generalmente continue su $\mathbb{R}$ e ivi assolutamente integrabili: sarà dunque
$$\int_{-\infty}^{+\infty}|f(x)|dx<+\infty$$
Preso ad arbitrio $\lambda\in\mathbb{R}$, si ha poi
$$|f(x)e^{-i2\pi\lambda x}|=|f(x)|$$
e quindi la funzione $f(x)e^{-i2\pi\lambdax}\inP_\infty$.
Esiste dunque, per ogni $\lambda\in\mathbb{R}$, l'integrale improprio
$$\varphi(\lambda)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{-i2\pi\lambda x}dx$$
Il quale appare dedotto, formalmente, da
$$\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(x)e^{-in_Tx\frac{2\pi}{T}}dx$$
per $T\to+\infty$.
I miei dubbi sono i seguenti:
1)
Si prenda, ad arbitrario, $\lambda\in\mathbb{R}$: esiste, per ogni $T>0$, un intero $n_T$ tale che sia
$$\frac{n_T}{T}\leq\lambda<\frac{n_T+1}{T}$$
da cui segue
$$\lim_{T\to+\infty}\frac{n_T}{T}=\lambda$$
Perché esiste questo intero? Sembra una proprietà dei numeri reali ma non sono sicuro cosa sia di preciso. Mi è venuto in mente che è come se dicesse che tra due razionali c'è un numero reale $\lambda$, però per essere razionale $T$ dovrebbe essere intero; ma il periodo non è necessariamente intero (correggetemi se sbaglio) e quindi forse è un altro il motivo.
Potreste chiarirmi questo aspetto?
Inoltre perché da ciò segue
$$\lim_{T\to+\infty}\frac{n_T}{T}=\lambda$$
questo sembra una specie di teorema dei due carabinieri, ma non sono sicuro che questo risultato sia dovuto a ciò.
2) Perché tutto questo discorso? Capisco che vuole definire la trasformata di Fourier e tutto ciò serve ad arrivare alla definizione, come mai però la costruisce così?
Riconosco che questa seconda domanda può risultare un po' vaga, sarò ben lieto di aggiungere altre parole ad essa se non dovesse essere chiara.
