Prop. Sia f una funzione analitica in un intervallo I e ${p_n}$ la successione degli zeri di f ossia $f(p_n)=0$ per ogni n. ${p_n}$ è tale che il limite per $n→oo$ vale p. Allora p annulla f e tutte le sue derivate ossia f è identicamente nulla in un intorno di p.
Dimostrazione
Essendo analitica, lo sviluppo di Taylor per la funzione in p è $f(x)=\sum_(i=0)^oo (f^i(p)/(i!) (x-p)^i)$
Suppongo per assurdo che la funzione non sia identicamente nulla quindi esiste un m tale che la derivata m-esima della funzione non è zero e quindi
$f(x)=(x-p)^m (f^m(p)/(m!)+f^(m+1)/((m+1)!) (x-p)^(m+1))+....$. Questa si annulla solo in p, ossia quando si annulla $(x-p)^m$. In un intorno di p quindi è non nulla. E fino qui tutto chiaro
Ora, nella conclusione non capisco.
Per ipotesi ${p_n}→p$ per $n→oo$ quindi non può esiste una derivata m-esima diversa da 0 in p. Perché??
Moderatore: Martino
Spostato in Analisi.