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Ho la seguente proposizione di cui non riesco a capire la dimostrazione. (Lo posto qui perché è stato fatto nel corso di geometria, non so se deve essere spostato in analisi)
Prop. Sia f una funzione analitica in un intervallo I e ${p_n}$ la successione degli zeri di f ossia $f(p_n)=0$ per ogni n. ${p_n}$ è tale che il limite per $n→oo$ vale p. Allora p annulla f e tutte le sue derivate ossia f è identicamente nulla in un intorno di p.
Dimostrazione
Essendo analitica, lo sviluppo di Taylor per la funzione in p è $f(x)=\sum_(i=0)^oo (f^i(p)/(i!) (x-p)^i)$
Suppongo per assurdo che la funzione non sia identicamente nulla quindi esiste un m tale che la derivata m-esima della funzione non è zero e quindi
$f(x)=(x-p)^m (f^m(p)/(m!)+f^(m+1)/((m+1)!) (x-p)^(m+1))+....$. Questa si annulla solo in p, ossia quando si annulla $(x-p)^m$. In un intorno di p quindi è non nulla. E fino qui tutto chiaro
Ora, nella conclusione non capisco.
Per ipotesi ${p_n}→p$ per $n→oo$ quindi non può esiste una derivata m-esima diversa da 0 in p. Perché??

Starebbe meglio nella sezione di analisi, comunque l'assurdo viene perché hai dimostrato che esiste un intorno $U$ di $p$ in cui la funzione non si annulla per valori nell'intorno diversi da $p$, ma sai per ipotesi che $p_n->p$ e $f(p_n)=0 AAn\inNN$.
Credo sia sottinteso che $n\mapto p_n$ è iniettiva, o almeno che $p_n!=p AAn\inNN$, quindi esisterebbe $n_0|p_(n_0)\inU-{p}^^f(p_(n_0))$, assurdo.