Due esercizi sulle serie numeriche

[otta96]

Si.

[vfab97]

invece per la serie $ sum(1+n^2)/(n^2 ln n) $ , con cosa faccio il confronto asintotico?
Potresti spiegarmi un metodo per capire quale serie utilizzare per il confronto?

[otta96]

Determinare la convergenza o meno delle serie non è qualcosa che può essere fatto seguendo pedissequamente una successione di regole come invece si può fare per calcolare le derivate (di funzioni elementari), ci vuole inventiva, creatività, è una cosa che si impara dopo tanto esercizio ed esperienza.
Ad ogni modo alcune cose che assomigliano a delle regole si possono dare, ad esempio calcolare il limite del termine $n$-esimo, potresti già finire (se non viene $0$), ma anche se viene $0$, dovresti riuscire a trarne delle informazioni utili, sostanzialmente "quanto velocemente va a $0$", per poter usare il criterio del confronto, oppure se vedi che nei termini ci sono molto prodotti, per esempio elevamenti alla $n$, fattoriali, coefficienti binomiali ma non solo, la cosa che deve venire in mente è di usare il criterio del rapporto, se invece la serie è a segni alterni, c'è da controllare se funziona il criterio di Leibnitz. Se niente di questo funziona…. bisogna inventarsi qualcosa.