Determinare la funzione generatrice della successione

Ciao a tutti!

Volevo chiedere una mano riguardo al seguente esercizio:
Detta f(x) la funzione generatrice della successione a n (n ≥ 0), determinare la funzione generatrice della successione:

\(\displaystyle b_n = n + \sum\limits_{k=0}^n 3^ka_n-_k \)

(n-k è il pedice di a, forse da come l'ho scritto non si capiva molto bene, scusate)

Non so onestamente cosa fare, ho fatto altri esercizi dove ad esempio si riusciva a "riconoscere" la derivata di f(x) etc, ma qui non so cosa fare...

Grazie mille!

Ciao tatoalo,

Benvenuto sul forum!

Tipicamente se $f(x) $ è la funzione generatrice di $a_n $ significa che si ha $ f(x) = \sum_{n = 0}^{+\infty} a_n x^n $,
quindi per ottenere la funzione generatrice $g(x) $ di $b_n $ moltiplicherei tutto per $x^n $ e poi sommerei per $n $ che va da $0$ a $+\infty $:

$g(x) := \sum_{n = 0}^{+\infty} b_n x^n = \sum_{n = 0}^{+\infty} n x^n + \sum_{n = 0}^{+\infty} x^n \sum_{k=0}^n 3^k a_{n - k} = \frac{x}{(x - 1)^2} + \sum_{n = 0}^{+\infty} x^n \sum_{k=0}^n 3^k a_{n - k} $

per $|x| < 1 $

Grazie mille per la risposta,

$ \frac{x}{(x - 1)^2} + \sum_{n = 0}^{+\infty} x^n \sum_{k=0}^n 3^k a_{n - k} $

Partendo da qui solitamente mi viene chiesto di esprimere g(x) in funzione di f(x) e quindi avrei qualcosa come

$ \frac{x}{(x - 1)^2} + \frac{1}{(1 - x)} \sum_{k=0}^n 3^k a_{n - k} $

Ma l'ultima sommatoria non riesco a ricondurla a nulla...

Attenzione, è sbagliato: il termine \(x^n\) è moltiplicato ad un altro termine che dipende da \(n\), quindi non puoi sommarlo a \((1-x)^{-1}\).

Io farei così. Con il cambio di variabile \(h=n-k\), la sommatoria diventa
\[
\sum_n\sum_{h=0}^\infty x^n 3^n 3^{-h} a_h, \]
e ridistribuendo i termini,
\[
\sum_{h=0}^\infty a_h 3^{-h}\sum_{n=h}^\infty(3x)^n=\sum_{h=0}^\infty a_h \frac{x^h}{1-3x}=\frac{f(x)}{1-3x}.\]

Grazie mille, non ci sarei arrivato onestamente.

Io ho ragionato così. Intanto, appare \(a_{n-k}\), quindi per forza bisognerà porre \(h=n-k\). Fatto questo, si rimane con una roba di questa forma:
\[\tag{1}
\sum_n \sum_h \ldots a_h.\]
Per fare apparire \(f(y)=\sum_{h=0}^\infty a_h y^h\), bisogna cambiare l'ordine di sommazione in (1), altrimenti \(a_h\) resta seppellito all'interno.

Fatto questo, ecco che magicamente si semplifica un termine e appare \(f(x)\).