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Discussioni su programma di analisi 1 e 2: numeri complessi, calcolo di una o più variabili reali, equazioni differenziali ordinarie.

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equazione goniometrica difficoltosa

16/09/2018, 17:38

Ciao. Non sono in grado di comprendere un esercizio proposto dal mio libro di testo.
E' questo:

$sen (5x) = 16 sen^5(x)$

il testo dice che è " facile verificare che":

$sen (5x) = 16 sen^5(x) - 20 sen^3(x) + 5 sen(x)$

Mi potreste dare un suggerimento su quali formule (addizione, bisezione, etc) rivolgere la mia attenzione per poter capire come si è arrivati a questa trasformazione?

Grazie infinite.

Re: equazione goniometrica difficoltosa

16/09/2018, 18:41

Ciao!

Potresti provare con $sin(4x+x)$ e usare le formule di addizione, per poi usare quelle di duplicazione. Hai provato?

Re: equazione goniometrica difficoltosa

16/09/2018, 18:57

Si . Ho provato (però con $sen (3×+2×)$ e mi sono ritrovata in un ginepro ... chissà se con $sen (4×+×)$ magari viene meglio ... ma vorrei essere più sicura
Grazie ci provo a asap

Re: equazione goniometrica difficoltosa

16/09/2018, 19:30

Guardate in "Scerveliamoci un po'", trovate uno spunto ...

Re: equazione goniometrica difficoltosa

16/09/2018, 19:33

rosa munda ha scritto:$sen (5x) = 16 sen^5(x) - 20 sen^3(x) + 5 sen(x)$

Tutte le formule trigonometriche si riducono a questa qui:
\[
e^{ix}=\cos x+ i \sin x.\]
In questo caso,
\[
(\sin x)^5= \frac{ ( e^{ix} -e^{-ix})^5}{(2i)^5}, \]
e bisogna sviluppare il membro destro. È una scocciatura, ma funziona.

Re: equazione goniometrica difficoltosa

17/09/2018, 20:35

Grazie "dissonance" ... immagino che tu stia utilizzando i numeri complessi (che conosco poco, ho solo letto qualche lezione ma di pratica = zero) , ma il mio testo è di livello inferiore e penso ci sia un'altra strada che si possa percorrere .... spero che qualcuno me lo sappia dire ...

Re: equazione goniometrica difficoltosa

17/09/2018, 20:38

Grazie anche ad axpgn. .. vedrò se trovo qualche spunto su scervelliamoci ... non l'ho mai visitato spero sia facile...

Re: equazione goniometrica difficoltosa

20/09/2018, 06:04

Ciao rosa munda,

Seguendo il suggerimento iniziale di anto_zoolander, farei così:

$ sin(5x) = sin(4x + x) = sin(4x)cos x + cos(4x) sin x = $
$ = 2sin(2x) cos(2x)cos x + (1 - 2 sin^2(2x))sin x = $
$ = 4 sin x cos x (1 - 2 sin^2 x)cos x + [1 - 2(2sin x cos x)^2]sin x = $
$ = 4 sin x cos^2 x (1 - 2sin^2 x) + [1 - 8sin^2 x(1 - sin^2 x)]sin x = $
$ = 4 sin x (1 - sin^2 x)(1 - 2sin^2 x) + [1 - 8 sin^2 x + 8 sin^4 x]sin x = $
$ = 4 sin x (1 - 3 sin^2 x + 2 sin^4 x) + sin x - 8 sin^3 x + 8 sin^5 x = $
$ = 4 sin x - 12 sin^3 x + 8 sin^5 x + sin x - 8 sin^3 x + 8 sin^5 x = $
$ = 16 sin^5 x - 20 sin^3 x + 5 sin x $

Dunque l'equazione iniziale proposta si può riscrivere nel modo seguente:

$ 16 sin^5 x - 20 sin^3 x + 5 sin x = 16 sin^5 x $

$ sin x - 4 sin^3 x = 0 $

$sin x(1 - 4 sin^2 x) = 0 $

A questo punto dovresti essere in grado di trovare le soluzioni autonomamente... :wink:

Re: equazione goniometrica difficoltosa

20/09/2018, 12:38

Mille grazie .... vado a controllare gli errori fatti (il mio famoso ginepraio !) perché ho tentato anche questa questa strada ma mi sono persa già due volte ....avevo proprio bisogno di aiuto. buona giornata.
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