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Ciao, ho deciso di scivere qui perchè mi è già capitato di parlarne con alcuni ingegneri ma ho ricevuto risposte che non mi hanno per nulla soddisfatto. Io vorrei capire a livello di analisi matematica la faccenda rigorosamente.

C'è un qualcosa che a livello intuitivo non mi torna nella derivata seconda dello spazio (accelerazione). A livello di funzioni è tutto ok, cioè di analisi 1, ma a livello fisico intendendo come "pezzettini" -perdonate il termine- lo spostamento (infinitesimo) qualcosa non mi quadra. Ho letto su diversi testi di fisica ma non si va mai ad analizzare nel dettaglio, il punto è che a livello concettuale il passaggio al limite è svolto in modo meno rigoroso e come intervalli sempre minori. Inoltre la derivata seconda non è fatta sulla funzione derivata prima ma su " due volte" questo passaggio al limite operato sulla funzione spazio.

In particolare cerco di andare a spiegare il dubbio..

Partiamo dall'analisi in delta tempo finiti, dato che risiede qui il problema

$v(t) = ((s(t+\Delta t)-s(t)))/(Delta t)$

$v(t+\Delta t) = (s(t+2\Delta t)-s(t+\Delta t))/(\Delta t)$

$a(t) = (v(t+\Delta t)-v(t))/(\Delta t)$

Quindi unendo e dovendo essere un ulteriore rapporto incrementale
$a(t) =(((s(t+2\Delta t)-s(t+\Delta t))/(\Delta t))-((s(t+\Delta t)-s(t))/(\Delta t)))/(\Delta t)$ (1)

DA cui

$a(t) = (s(t+2\Delta t)-2s(t+\Delta t)+s(t))/(\Delta t)^2$

Il problema è nella (1) infatti guardando il grafico e ricordando il significato fisico, se prendo $(s(t+Δt)-s(t))/(Δt)$ e $(s(t+2Δt)-s(t+Δt))/(Δt)$ noto che non posso metterli a loro volta in rapporto a Δt bensì dovrei metterli a rapporto con 2Δt poiché sto considerando due differenze ciascuna che "Impegna" un Δt. Se rapportassi a Δt, come invece si fa, andrei a considerare solo la prima delle due differenze a numeratore della (1), perché in un delta Δt può avviene solo $((s(t+\Delta t)-s(t))/(\Delta t))$ dato che $((s(t+2\Delta t)-s(t+\Delta t))/(\Delta t))$avviene al delta t successivo.



Spero sia chiaro il punto dubbio, scusate la difficoltà nello spiegarlo.
Grazie mille

Beh, proviamo a trattarlo come esercizio di Analisi... (È uno di quelli che propongo ai miei studenti, anche se in forma leggermente diversa)

Esercizio:
Siano $I subseteq RR$ un intervallo contenente almeno due punti, $t_0 in I$ un punto interno ed $s:I -> RR$ una funzione derivabile una volta in $I$ è due volte in $t_0$.
Dimostrare che:
\[
\begin{split}
\lim_{\Delta t \to 0} \frac{ s(t_0 + 2 \Delta t) - 2 s(t_0 + \Delta t) + s(t_0)}{2\Delta t} & = 0 \;,\\
\lim_{\Delta t \to 0} \frac{ s(t_0 + 2 \Delta t) - 2 s(t_0 + \Delta t) + s(t_0)}{(\Delta t)^2} & = s^{\prime \prime} (t_0)\;.
\end{split}
\]

Attendevo con ansia una risposta al mio sproloquio per aiutarmi a correggere il tiro e ti ringrazio moltissimo per aver preso parte alla discussione.

Partendo dal fatto che io pensavo a una cosa del genere:
$a(t) =(((s(t+2\Delta t)-s(t+\Delta t))/(\Delta t))-((s(t+\Delta t)-s(t))/(\Delta t)))/(2\Delta t)$ (comeda disegno)
mi sarei cioè ritrovato
$a(t) = (s(t+2\Delta t)-2s(t+\Delta t)+s(t))/(2(\Delta t)^2$ (◘)

Provo quindi a svolgere i due casi da te indicati (il terzo, quello in questo messaggio è identico tranne per un fattore 1/2). Spero avrai voglia di correggere gli eventuali (probabilissimi) errori.

Ho usato De l'Hopital perché ho visto solo dopo il suggerimento .

Partiamo dal primo:
il numeratore derivato è (chain rule) $2s'(t_0+2Δt)-2s'(t_0+Δt)$ e passando al limite essendo funzione continua sostituisco nell'argomento delta t-> 0, quindi ... $2s'(t_0)-2s'(t_0)=0$

(ho sottolineato l'affermazione di cui non sono pienamente certo altrimenti non saprei come farne il limite)

Il secondo (scrivo il num e den derivati)
$(s'(t_0-2Δt)-s'(t_0+Δt))/(Δt)$
itero il processo
$2s''(t_0+2Δt)-s''(t_0+Δt)$ e passando al limite $2s''(t_0)-s''(t_0)=s''(t_0)$

Che alla fine mostra essere proprio la derivata seconda. Il problema è che il mio dubbio non era tanto dire che quel rapporto incrementale fosse la derivata seconda ,quello lo so e l'ho ri-verificato, a conti fatti.
Il mio problema è piuttosto (si guardi la figura obbrobriosa) che le differenze avvengono tra $s(t_0+2Δt)$ e $s(t_0)$ questo comporta considerare sulle ascisse un $2Δt$ quindi dovrei ritrovare la (◘) stando al ragionamento fatto in cui si dice che si considerano intervalli sempre minori di quella differenza. (cit. mazzoldi come il silvestrini menucci) l'impianto è sempre qeullo vedo.

Sinceramente non vedo il problema: euristicamente, stai approssimando limiti con rapporti incrementali.
Dato che:
\[
s^{\prime \prime} (t_0) \approx \frac{s^\prime (t_0 + \Delta t) - s^\prime (t_0)}{\Delta t} \approx \frac{\frac{s (t_0 + \Delta t +\Delta t) - s (t_0+\Delta t)}{\Delta t} - \frac{s (t_0 + \Delta t) - s (t_0)}{\Delta t}}{\Delta t}
\]
viene fuori il rapporto che hai sul testo.
Il $2$ al denominatore non ci va.

Grazie per l'ulteriore risposta.

A livello funzionale, come dici, non ci sono problemi.

Il problema è piuttosto l'impostazione intuitiva dove il libro dice di immaginare di prendere incrementi sempre più piccoli.
Ho fatto questo grafico dove ho evidenziato con un pallino la velocità istantanea.
Parlo di interpretazione fisica di dx e ds piccoli, sempre più piccoli. Perché così la affronta il testo, a livello funzionale e di come è introdotto il concetto di derivata e limite non avrebbe pienamente senso.



Come si vede V(ist) esce da un Δs/Δt. Immaginando tale disegno piccolo a paicere ci sarà (seguendo la logica del libro) sempre un dse un dt. Inoltre $V_(ist)$ e $V_(ist 2)$ sono separate tra loro da un dx piccolo.
Il problema è quando voglio passare alla accelerazione. Perchése io scrivessi
\[
\frac{\frac{s (t_0 + \Delta t +\Delta t) - s (t_0+\Delta t)}{\Delta t} - \frac{s (t_0 + \Delta t) - s (t_0)}{\Delta t}}{\Delta t}
\]
le differenze a numeratore avvengono tra $s(t_0+2Δt)$ e $s(t_0)$ questo comporta considerare sulle ascisse un $2Δt$, se invece considerassi solo un $Δt$ al denominatore comune della grande frazione in quell'istante la funzione incrementerebbe tra $s(t_0)$ e $s(t_0+Δt)$ e non tra $s(t_0)$ e $s(t_0+2Δt)$ come dovrebbe essere.
Ripeto, parlo della logica esposta che mi sembra peccare.

Tu che ne pensi?

Penso che la Matematica/Fisica e l'intuizione non sempre vanno a braccetto.

Condivido, era per capire se avessi bene inteso il testo

grazie.