Derivata seconda dello spazio-tempo
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Ciao, ho deciso di scivere qui perchè mi è già capitato di parlarne con alcuni ingegneri ma ho ricevuto risposte che non mi hanno per nulla soddisfatto. Io vorrei capire a livello di analisi matematica la faccenda rigorosamente.
C'è un qualcosa che a livello intuitivo non mi torna nella derivata seconda dello spazio (accelerazione). A livello di funzioni è tutto ok, cioè di analisi 1, ma a livello fisico intendendo come "pezzettini" -perdonate il termine- lo spostamento (infinitesimo) qualcosa non mi quadra. Ho letto su diversi testi di fisica ma non si va mai ad analizzare nel dettaglio, il punto è che a livello concettuale il passaggio al limite è svolto in modo meno rigoroso e come intervalli sempre minori. Inoltre la derivata seconda non è fatta sulla funzione derivata prima ma su " due volte" questo passaggio al limite operato sulla funzione spazio.
In particolare cerco di andare a spiegare il dubbio..
Partiamo dall'analisi in delta tempo finiti, dato che risiede qui il problema
$v(t) = ((s(t+\Delta t)-s(t)))/(Delta t)$
$v(t+\Delta t) = (s(t+2\Delta t)-s(t+\Delta t))/(\Delta t)$
$a(t) = (v(t+\Delta t)-v(t))/(\Delta t)$
Quindi unendo e dovendo essere un ulteriore rapporto incrementale
$a(t) =(((s(t+2\Delta t)-s(t+\Delta t))/(\Delta t))-((s(t+\Delta t)-s(t))/(\Delta t)))/(\Delta t)$ (1)
DA cui
$a(t) = (s(t+2\Delta t)-2s(t+\Delta t)+s(t))/(\Delta t)^2$
Il problema è nella (1) infatti guardando il grafico e ricordando il significato fisico, se prendo $(s(t+Δt)-s(t))/(Δt)$ e $(s(t+2Δt)-s(t+Δt))/(Δt)$ noto che non posso metterli a loro volta in rapporto a Δt bensì dovrei metterli a rapporto con 2Δt poiché sto considerando due differenze ciascuna che "Impegna" un Δt. Se rapportassi a Δt, come invece si fa, andrei a considerare solo la prima delle due differenze a numeratore della (1), perché in un delta Δt può avviene solo $((s(t+\Delta t)-s(t))/(\Delta t))$ dato che $((s(t+2\Delta t)-s(t+\Delta t))/(\Delta t))$avviene al delta t successivo.
![Immagine](https://i.imgur.com/Wj0IK7rl.jpg)
Spero sia chiaro il punto dubbio, scusate la difficoltà nello spiegarlo.
Grazie mille
C'è un qualcosa che a livello intuitivo non mi torna nella derivata seconda dello spazio (accelerazione). A livello di funzioni è tutto ok, cioè di analisi 1, ma a livello fisico intendendo come "pezzettini" -perdonate il termine- lo spostamento (infinitesimo) qualcosa non mi quadra. Ho letto su diversi testi di fisica ma non si va mai ad analizzare nel dettaglio, il punto è che a livello concettuale il passaggio al limite è svolto in modo meno rigoroso e come intervalli sempre minori. Inoltre la derivata seconda non è fatta sulla funzione derivata prima ma su " due volte" questo passaggio al limite operato sulla funzione spazio.
In particolare cerco di andare a spiegare il dubbio..
Partiamo dall'analisi in delta tempo finiti, dato che risiede qui il problema
$v(t) = ((s(t+\Delta t)-s(t)))/(Delta t)$
$v(t+\Delta t) = (s(t+2\Delta t)-s(t+\Delta t))/(\Delta t)$
$a(t) = (v(t+\Delta t)-v(t))/(\Delta t)$
Quindi unendo e dovendo essere un ulteriore rapporto incrementale
$a(t) =(((s(t+2\Delta t)-s(t+\Delta t))/(\Delta t))-((s(t+\Delta t)-s(t))/(\Delta t)))/(\Delta t)$ (1)
DA cui
$a(t) = (s(t+2\Delta t)-2s(t+\Delta t)+s(t))/(\Delta t)^2$
Il problema è nella (1) infatti guardando il grafico e ricordando il significato fisico, se prendo $(s(t+Δt)-s(t))/(Δt)$ e $(s(t+2Δt)-s(t+Δt))/(Δt)$ noto che non posso metterli a loro volta in rapporto a Δt bensì dovrei metterli a rapporto con 2Δt poiché sto considerando due differenze ciascuna che "Impegna" un Δt. Se rapportassi a Δt, come invece si fa, andrei a considerare solo la prima delle due differenze a numeratore della (1), perché in un delta Δt può avviene solo $((s(t+\Delta t)-s(t))/(\Delta t))$ dato che $((s(t+2\Delta t)-s(t+\Delta t))/(\Delta t))$avviene al delta t successivo.
![Immagine](https://i.imgur.com/Wj0IK7rl.jpg)
Spero sia chiaro il punto dubbio, scusate la difficoltà nello spiegarlo.
Grazie mille