Punti discontinuità di una funzione

[Marco Beta2]

Buongiorno a tutti... sto facendo un esercizio presente su una delle varie tracce d'esami che sto studiando e mi chiede di calcolare i punti di discontinuità della funzione ma non mi sono chiare due cose:
1) per capire quale tipologia di discontinuità è, devo sempre partire dalla prima specie e procedere per esclusione?
2) quali valori utilizzo per tale studio? (vedi sotto)

La mia funzione è la seguente: $y=(2-root(2)(4-x^2))/(x^2 -2x)$ e il dominio è: $[-2; 0) U (0;2]$

Grazie in anticipo

[anto_zoolander]

Ciao!

Sei sicuro che l’insieme di definizione sia quello? Cosa succede per $x=2$?
Una volta risolto questo problema, quali pensi possano essere questi punti? Ce ne sono?

[Marco Beta2]

...

Ciao anto_zoolander e grazie per la risposta... credo di aver sbagliato il dominio perchè per $x=2$ si annulla il denominatore il che non è ammesso però ho anche notato che ho sbagliato a ricavare la x del denominatore.
Questo il mio procedimento...

Radicando:
$-x^2 +4 >= 0$
$x^2 - 4 <= 0$
$x^2 <= 4$
$x<=2 $ e $x>=-2$ (valori interni per segni discordi della disequazione)

Denominatore:
$x^2 -2x !=0$
$x(x^2 -2)!=0$
$x!=0$
$x^2 -2 != 0$
$x^2 != 2$
$x!=root2 2$ e $x!=- root2 2$

EDIT
Sono andato avanti ed ho calcolato i limiti in 0 e in 2 (dominio $(-2;0)U(0;2)$)
$lim_(x -> 0^+) = 0$
$lim_(x -> 0^-) = 0$
$lim_(x -> 2^+) = -oo $
$lim_(x -> 2^+) = +oo $

oa bisogna dare un senso a questi risultati... La discontinuità è di seconda specie perchè i limiti sono entrambi indefiniti e diversi tra loro?

[anto_zoolander]

Sbagli il denominatore.
I punti da togliere sono gli $x$ tali per cui $x^2-2x=0$ quindi $x(x-2)=0$ ossia $x=0$ e $x=2$
Infatti il tuo errore sta in $x^2-2x=x(x^2-2)$.

Ora posto $D=[-2,0)cup(0,2)$ puoi notare come la funzione non ammetta discontinuità.
Sapresti dirmi perchè affermo questo?

[axpgn]

Perché non sei più al Liceo ...

[anto_zoolander]

Perché non sei più al Liceo ...

‘sta cosa dei punti di discontinuità ritorna sempre e puntualmente.

[Marco Beta2]

...

in effetti se con $x^2-2x=0$ metto in evidenza la $x$ mi viene $x(x^2 -2)$ se sbaglio all'inizio quello che viene dopo è peggio del peggio

Comunque non so perchè non ammette punti di discontinuità... Forse perchè l'unico punto di discontinuità che ha è in $0$ ma è un punto eliminabile?

[anto_zoolander]

Come sono definiti i punti di discontinuità di una funzione in una variabile?

[Marco Beta2]

Come sono definiti i punti di discontinuità di una funzione in una variabile?

Si dice discontinua in un punto $x0$ del suo dominio se $lim_(x -> x0) f(x)$ non esiste, è infinito o esiste ma è diverso da $f(x0)$ e

[anto_zoolander]

La cosa importante è la prima: il punto di discontinuità $x_0$ deve stare nell’insieme di definizione.

Quindi i punti $x=0,2$ non sono nè di discontinuità nè altro: sono solo dei punti in cui, vicino, la funzione tende ad avere un certo comportamento.

Infatti quando si parla di continuità bisogna specificare dove.
Quella funzione è continua nel suo dominio in quanto,

$forall x_0 inD, lim_(x->x_0)f(x)=f(x_0)$

Molto spesso questi problemi chiedono un’altra cosa, sbagliando la scrittura della richiesta.
Quello che si può chiedere è se esista una estensione di $f$ che sia continua nei punti di frontiera del dominio che in questo caso risultano essere $x=0,2$

Ovvero una funzione $g:A->RR$ tale che $DsubseteqA$ e $g_(|D)=f$ che sia continua in $D$.
La restrizione la puoi considerare come $gcirc i_(D) : D->A->RR$

In questo caso la funzione $f$ ammette come estensione continua la funzione

$g(x):= {( f(x) if x in D) , ( 0 if x=0):}$

Ovviamente la posizione $g(0)=0$ è giustificata da $lim_(x->0)f(x)=0$