eq. differenziale secondo ordine $Delta<0$

[mobley]

L'equazione differenziale $ y^(''')(x)+y^'(x)=cos(x) $ ha determinante negativo con soluzioni complesse $+-i$. La soluzione dell'equazione omogenea è del tipo $ e^(alphax)(c_1cosbetax+c_2sinbetax) $ con $alpha=-b/(2a)$ e $beta=(sqrt(-Delta))/(2a)$, ma quali sono $a$ e $b$? Perché non è $beta=(sqrt(-(-1)))/(2)=1/2$ bensì $1$?

[Mephlip]

Non so quale metodo usi, ma sembra una variante del metodo della somiglianza. Quello che conosco io vuole che $\beta$ sia coincidente con il coefficiente dell'argomento di $\cos x$ al membro di destra dell'equazione differenziale; perciò mi torna che $\beta=1$.

[mobley]

Non so quale metodo usi, ma sembra una variante del metodo della somiglianza. Quello che conosco io vuole che $\beta$ sia coincidente con il coefficiente dell'argomento di $\cos x$ al membro di destra dell'equazione differenziale; perciò mi torna che $\beta=1$.

Ho sbagliato io: ho descritto la soluzione particolare, non quella omogenea. Provvedo a correggere.
In ogni caso, il $beta$ inteso come argomento della funzione trigonometrica al membro di destra serve a verificare se $alpha+ibeta$ sia o meno radice del polinomio caratteristico, poiché in base a questo cambia la soluzione particolare con l'aggiunta o meno di $x^h$ che ne misura la molteplicità. Il $beta$ a cui mi sto riferendo io, invece, serve a definire l'argomento delle funzioni trigonometriche nella soluzione omogenea, che in caso di $Delta<0$ è $e^(alphax)(c_1cosbetax+c_2sinbetax)$. Lo stesso problema, infatti, lo riscontro con l'equazione $ y^(''')(x)-2y^('')(x)+2y'(x)=x^2+x $ : la $f(x)$ non ha né seno né coseno ma devo comunque trovare $alpha$ e $beta$ per definire la soluzione omogenea.

[mobley]

Peraltro, lo stesso viene detto qui: https://www.matematicamente.it/appunti/ ... do-ordine/
Non capisco dove sto sbagliando

[Mephlip]

Prima di continuare a parlarne, vorrei chiederti se il titolo è semplicemente una svista in quanto l'equazione è del terzo ordine; perché a me, se è scritto come è scritto nel post, risulta anche una terza soluzione $\lambda_3=0$ oltre alle due complesse $\lambda_{1,2}=\pmi$ in quanto il polinomio caratteristico associato all'equazione differenziale è $\lambda^3+\lambda=\lambda(\lambda^2+1)=0$.
Non so quindi se hai problemi solo con le complesse mentre la reale la hai omessa perché la sai trattare, oppure se c'è qualche altro problema!
In questo caso sembra che tu abbia posto $y'(x)=e^{\lambda x}$ invece di $y(x)=e^{\lambda x}$, perché credo sia l'unico caso in cui può venire $\lambda^2+1=0$ dall'equazione che hai scritto; chiaramente la mia è solo una supposizione per cercare di comprendere, non è una critica o un'insinuazione

[mobley]

Ho scritto nel titolo "di secondo ordine" per rendere genericamente l'idea del problema. Nel caso specifico sono tre le soluzioni, come giustamente hai detto In ogni caso credo di aver risolto, la chiave era banalmente la definizione di equazione differenziale lineare del secondo ordine $y^('')(x)+ay'(x)+by(x)=f(x)$.