Fattorizzazione di un polinomio curioso (integrale)

Messaggioda Gandalf73 » 22/09/2018, 13:32

Carissimi, ripescando un po nei vecchi testi mi è venuto sottomano un polinomio che mi ha incuriosito.
Ho fatto qualche indagine e alla fine (forse) ho trovato una soluzione.
La domanda è:
come fattorizzare un polinomio del genere facendo uso di SOLI numeri reali?
Preciso che il polinomio da scomporre appare al denomitare di una funzione integranda e che ha messo in seria difficoltà un po di tools cosiddetti CAS.
Il polinomio in questione è:

$( x^4-2x^2+2) $

Potrei fattorizzare con due trinomi di secondo grado come:

$(x^2+ax+b)*(x^2-ax+b) $

da cui ricaviamo a e b.
Avremmo due soluzioni per a e due per b.
Mi chiedo se per scomporre la funzione integranda debbo comunque usarle tutte e quattro o per non incorrere in polinomi a coefficienti complessi posso utilizzarne solo due.
Un grazie a tutti
A.

Moderatore: Martino

Spostato in Analisi (si veda la continuazione della discussione).
Gandalf73
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 99 di 370
Iscritto il: 02/08/2015, 15:04

Messaggioda j18eos » 22/09/2018, 16:42

Essendo quel trinomio la somma di quadrati
\[
x^4-2x^2+2=x^4-2x^2+1+1=(x^2-1)^2+1
\]
non può essere scomposto come il prodotto di polinomi a coefficienti reali! avere radici reali; in conseguenza al Teorema Fondamentale dell'Algebra, questi può essere scomposto come prodotto di polinomi di secondo grado a coefficienti reali e discriminante (strettamente) negativo.

Seguendo la richiesta di Gandalf73, si sta cercando una fattorizzazione del tipo
\[
x^4-2x^2+2=(x^2+a_1x+b_1)(x^2+a_2x+b_2);
\]
per il Principio di Eguaglianza di Polinomi, bisogna risolvere il sistema
\[
\begin{cases}
a_1+a_2=0\\
a_1a_2+b_1+b_2=-2\\
a_1b_2+a_2b_1=0\\
b_1b_2=2
\end{cases}.
\]
Ometto per pigrizia i calcoli!
Ultima modifica di j18eos il 23/09/2018, 11:34, modificato 1 volta in totale.
Ipocrisìa e omofobìa,
fuori da casa mia!

Semplicemente Armando. ;)
Avatar utente
j18eos
Moderatore
Moderatore
 
Messaggio: 6274 di 13399
Iscritto il: 12/06/2010, 15:27
Località: Napoli, Trieste, ed ogni tanto a Roma ^_^

Re: Fattorizzazione di un polinomio curioso

Messaggioda Martino » 22/09/2018, 18:24

Gandalf73, non ho capito la domanda. Una volta fattorizzato il polinomio devi seguire il procedimento standard, ovvero scrivere l'integranda come somma

$\frac{AX+B}{P(X)}+\frac{CX+B}{Q(X)}$

dove $P(X)$ e $Q(X)$ sono i due fattori (se sono distinti), e poi ti riconduci a logaritmi e arcotangenti.

Scriviamo una fattorizzazione così ci capiamo:

$X^4-2X^2+2 = (X^2+sqrt{2+2 sqrt{2}}*X+sqrt{2}) * (X^2-sqrt{2+2 sqrt{2}}*X+sqrt{2})$.

Puoi usare questa per risolvere l'integrale.

Comunque ripeto che non ho capito la domanda :)
Le persone che le persone che le persone amano amano amano.
Avatar utente
Martino
Moderatore globale
Moderatore globale
 
Messaggio: 7255 di 13035
Iscritto il: 21/07/2007, 10:48
Località: Brasilia

Re: Fattorizzazione di un polinomio curioso

Messaggioda @melia » 22/09/2018, 19:59

@Martino
Perché hai scritto una fattorizzazione e non la fattorizzazione?
Sara Gobbato

732 chilometri senza neppure un autogrill
Avatar utente
@melia
Moderatore globale
Moderatore globale
 
Messaggio: 11093 di 21976
Iscritto il: 16/06/2008, 18:02
Località: Padova

Re:

Messaggioda @melia » 22/09/2018, 20:02

j18eos ha scritto:Essendo quel trinomio la somma di quadrati
\[
x^4-2x^2+2=x^4-2x^2+1+1=(x^2-1)^2+1
\]
non può essere scomposto come il prodotto di polinomi a coefficienti reali!

Come no. Non può essere scomposto in fattori di primo grado a coefficienti reali, ma in fattori di secondo grado sì, infatti Martino lo ha appena fatto.
Sara Gobbato

732 chilometri senza neppure un autogrill
Avatar utente
@melia
Moderatore globale
Moderatore globale
 
Messaggio: 11094 di 21976
Iscritto il: 16/06/2008, 18:02
Località: Padova

Re: Fattorizzazione di un polinomio curioso

Messaggioda Martino » 22/09/2018, 20:59

@melia ha scritto:@Martino
Perché hai scritto una fattorizzazione e non la fattorizzazione?
Perché a rigore un'altra fattorizzazione è

$X^4-2X^2+2 = (-X^2-sqrt{2+2 sqrt{2}}*X-sqrt{2}) * (-X^2+sqrt{2+2 sqrt{2}}*X-sqrt{2})$.

Mi sembra che l'OP si stia interrogando sulle possibili multiple fattorizzazioni, per questo ho scritto "una" (tra parentesi, le due che abbiamo discusso sono le uniche (invece no - vedere sotto)).
Le persone che le persone che le persone amano amano amano.
Avatar utente
Martino
Moderatore globale
Moderatore globale
 
Messaggio: 7256 di 13035
Iscritto il: 21/07/2007, 10:48
Località: Brasilia

Re: Fattorizzazione di un polinomio curioso

Messaggioda @melia » 23/09/2018, 10:13

Martino ha scritto:Mi sembra che l'OP si stia interrogando sulle possibili multiple fattorizzazioni, per questo ho scritto "una" (tra parentesi, le due che abbiamo discusso sono le uniche).

Hai ragione, alla scuola superiore parliamo di una fattorizzazione perché poniamo sempre il termine di grado massimo con il segno positivo.
Grazie
Sara Gobbato

732 chilometri senza neppure un autogrill
Avatar utente
@melia
Moderatore globale
Moderatore globale
 
Messaggio: 11096 di 21976
Iscritto il: 16/06/2008, 18:02
Località: Padova

Re: Fattorizzazione di un polinomio curioso

Messaggioda otta96 » 23/09/2018, 10:24

Se è per questo puoi anche moltiplicare un fattore per un qualsiasi numero diverso da $0$ e l'altro fattore per l'inverso (non per forza $-1$.
otta96
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 1372 di 5748
Iscritto il: 12/09/2015, 22:15

Messaggioda j18eos » 23/09/2018, 11:34

@melia Ho corretto l'errore, e spiegato perché avevo sbagliato!

Grazie della segnalazione.
Ipocrisìa e omofobìa,
fuori da casa mia!

Semplicemente Armando. ;)
Avatar utente
j18eos
Moderatore
Moderatore
 
Messaggio: 6275 di 13399
Iscritto il: 12/06/2010, 15:27
Località: Napoli, Trieste, ed ogni tanto a Roma ^_^

Re: Fattorizzazione di un polinomio curioso

Messaggioda Gandalf73 » 24/09/2018, 22:34

In primis grazie a tutti per i preziosissimi interventi.
Dunque l'integrale da risolvere è il seguente:

$ \int \frac{2x^2}{x^4-2x^2+2} dx $.

Avendo visto diverse espressioni analitiche per la sua antiderivata mi sono chiesto come mai.
Ora possiamo raccogliere il denominatore come:

$ (x^2-1)^2 +1 $

Con opportune sostituzioni perveniamo all' arcotangente come soluzione dell'integrale.
Oppure fattorizzando il polinomio di quarto grado con due di secondo arriviamo a 4 radici (dicevate non reali?) che portano ad una combinazione lineare di 4 logaritmi come soluzione dell'integrale di partenza.
Quindi in buona sostanza l'antiderivata può avere due espressioni analitiche diverse.
E' corretto o sono in presenza di una eresia?
Gandalf73
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 100 di 370
Iscritto il: 02/08/2015, 15:04

Prossimo

Torna a Analisi matematica di base

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Nessuno e 1 ospite