Integrale indefinito

[mobley]

Partendo dall'equazione differenziale lineare non omogenea del primo ordine

$ y''(x)+(y'(x))^2=1 $

con condizioni $y(0)=0$ e $y'(0)=1$, arrivo a stabilire che $y'(x)=z=sqrt(1-e^(2(x+c)))$.
Per la seconda condizione $e^c=0$. Ora però non riesco a svolgere l'integrale

$intsqrt(1-e^(2(x+c)))$

che mi servirebbe per trovare $y(x)$.
Devo sostituire $e^c=0$ e svolgere l'integrale? Ho un po' di difficoltà nel farlo

[dissonance]

\(e^c=0\)

mi sa che qualcosa non va

equazione lineare...primo ordine... \(y''(x)+(y'(x))^2=\ldots\)

ancora peggio

[mobley]

intendevo dire secondo ordine. questo non risponde alla mia domanda però

[dissonance]

Ci sono un sacco di cose che non vanno e le ho raccolte nel post precedente. Dai una occhiata più approfondita, non ti fermare al fatto del primo ordine che è il più innocuo.

[mobley]

In effetti $e^c$ non dovrebbe essere $0$ perché altrimenti $ln(0)$ divergerebbe ad infinito. Ciononostante ho ricontrollato i calcoli e mi sembra che fino a $z=sqrt(1-e^(2(x+c)))$ lo svolgimento sia corretto. Quindi per la condizione non mi rimane che fare $ 1=sqrt(1-e^0\cdote^c)->1=sqrt(1-e^c)->1=1-e^c->e^c=0 $

[dissonance]

E lo so ma \(e^c=0\) non ammette soluzione, quindi da là non passi. Quella roba che hai trovato non può soddisfare il problema di Cauchy. Cerca un'altra soluzione, ce n'è una che si vede a occhio.

[mobley]

Ho capito va, scrivo tutti i calcoli. Impongo $y'(x)=z$:

$ z'+z^2=1->int1/(1-z^2)dz=intdx $

da cui $ 1/(1-z^2)=1/((1+z)(1-z))=A/(1+z)+B/(1-z)-> { ( A=1/2 ),( B=1/2 ):} $.
Ne segue $ int1/(1-z^2)dz=int(1/2)/(1+z)dz+int(1/2)/(1-z)dz=1/2ln(1+z)+1/2ln(1-z)=1/2ln(1-z^2)=x+c $ da cui $1-z^2=e^(2(x+c))->z=sqrt(1-e^(2(x+c)))=y'(x)$. Onestamente non vedo altre strade per risolverla.

[dissonance]

T'ho detto di andare a occhio... \(y(x)=x\) ti dice niente?

[Mathita]

Nota che $\int\frac{1}{1-z^2}dz=\frac{1}{2}\ln(|1+z|)-\frac{1}{2}\ln(|1-z|)+c$. La derivata del tuo risultato, ossia di $\frac{1}{2}\ln(1-z^2)$, non coincide con l'integranda.

[gugo82]

Il problema è che sbagli dall'inizio a risolvere l'equazione ausiliaria in $z(x)$.

Ti pare che in $0$ sia soddisfatta la condizione $1- z^2(x) != 0$?