serie di funzioni

[deb89]

salve a tutti.
vorrei chiedervi un opinione riguardo questa tipologia di esercizi sulle serie di funzioni. Prendo come esempio questa serie:
$ sum_(n = 1\) (-1)^n /(2^nxxnxx root()((n^2) +1 ) )xx(x^2-3)^n $
io svolgo in questo modo:
$ sum_(n = 1\) (-1)^n /(2^nxxnxx root()((n^2) +1 ) )xx(x^2-3)^n =sum_(n = 1\)1/(nxxroot()(n^2+1))xx((3-x^2)/2)^n $
$ =sum_(n = 1\)1/(nxxroot()(n^2+1))xx(y)^n $
a questo punto avendo ottenuto la serie di potenze, valuto la successione
$ an=1/(nxxroot()(n^2+1)) $ e tramite il teorema di d'alambert, quindi facendo il limite di n che tende all'infinito del valore assoluto di (an+1)/(an) trovo che L=1 quindi il raggio di convergenza è 1.
devo valutare l'intervallo di convergenza -1<y<1.
per prima cosa vedo ai valori estremi la serie come si comporta

per y=-1 ottengo una serie di segno alterno che per il teorem di leibnitz, deduco subito che converge:
ottengo infatti
$ sum_(n = 1\)1/(nxxroot()(n^2+1))xx(-1)^n $
valuto $ bn=1/(nxxroot()(n^2+1)) $
è successione decrescente e successione infinitesima
quindi la serie converge per y=-1

per y=1 invece ottengo la serie
$ sum_(n = 1\)1/(nxxroot()(n^2+1))xx(1)^n $
per valutare se questa converge o no osservo che è una serie formata dal prodotto di due serie che divergono positivamente, quindi anche la serie originale diverge

quindi concludo dicendo che la serie di funzione converge per $ -1<= y < 1 $
quindi $ -1<= (3-x^2)/2< 1 $ ovvero
$ -sqrt(5)<= x< 1 uu 1<x<=sqrt5 $
e la serie converge totalemente $ AA x in (a,b)e (c,d) $ chiusi e limitati con $ (a,b)sub (-sqrt(5), 1) e (c,d) sub (1,sqrt5) $

I MIEI DUBBI SONO NELLO SVOLGERE LE DISCUSSIONI PER y=-1 e y=1 e nell impostazione iniziale di accorpare i termini con esponente n.

[deb89]

si scusa c'e un errore nel trascriverla! e
correggo subito