Aperti di $\mathbb{R}^n$ come unione numerabile di intervalli

[vict85]

Si banale forse no, ma abbastanza semplice. Si sceglie un $ x\in A $ il quale ammette infiniti intorni contenuti in $ A $ e si prende il più grande di tali intorni. Poi se si prende un altro punto di $ A $ o questo appartiene all'intorno di prima o oppure no, e in quel caso si prende di nuovo il più grande intorno, fino a ricoprire $ A $. Poiché ognuno di questi intorni disgiunti per costruzione, contiene almeno un razionale, l'insieme di questi intorni è numerabile.

Non mi è chiaro cosa intendi con l'ultima frase. Nota tra l'altro che quegli intorni non sono disgiunti. Quindi la dimostrazione, scritta così, è leggermente incompleta.

D'altra parte, ti bastava scrivere \(\displaystyle A = \bigcup_{r\in A\cap \mathbb{Q}^n} A_r \) dove \(\displaystyle A_r\) è la più grande palla aperta centrata in \(r\) contenuta in \(A\). Per definizione si ha \(\displaystyle A \supset \bigcup_{r\in A\cap \mathbb{Q}^n} A_r \). L'altra implicazione deriva dal fatto che per ogni \(\displaystyle a\in A \) esiste una palla aperta \(A_r\) che contiene \(\displaystyle a \). Per dimostrarlo, prendi la più grande palla aperta \(\displaystyle U_a = B( a, \rho ) \) intorno ad \(\displaystyle a\in A \). Quindi prendi un qualsiasi \(\displaystyle r \in \mathbb{Q}^n\cap B( a, 2^{-2}\rho ) \). Per la disuguaglianza triangolare hai che \(\displaystyle a\in B( r, 2^{-2}\rho ) \subset U_a \subset A \). Per la definizione di \(A_r\), \(\displaystyle B( r, 2^{-2}\rho ) \subset A_r \) e questo conclude la dimostrazione.

[Bossmer]

D'altra parte, ti bastava scrivere \(\displaystyle A = \bigcup_{r\in A\cap \mathbb{Q}^n} A_r \) dove \(\displaystyle A_r\) è la più grande palla aperta centrata in \(r\) contenuta in \(A\). Per definizione si ha \(\displaystyle A \supset \bigcup_{r\in A\cap \mathbb{Q}^n} A_r \). L'altra implicazione deriva dal fatto che per ogni \(\displaystyle a\in A \) esiste una palla aperta \(A_r\) che contiene \(\displaystyle a \). Per dimostrarlo, prendi la più grande palla aperta \(\displaystyle U_a = B( a, \rho ) \) intorno ad \(\displaystyle a\in A \). Quindi prendi un qualsiasi \(\displaystyle r \in \mathbb{Q}^n\cap B( a, 2^{-2}\rho ) \). Per la disuguaglianza triangolare hai che \(\displaystyle a\in B( r, 2^{-2}\rho ) \subset U_a \subset A \). Per la definizione di \(A_r\), \(\displaystyle B( r, 2^{-2}\rho ) \subset A_r \) e questo conclude la dimostrazione.

Mi piace come dimostrazione, è sicuramente più formale della mia

Non mi è chiaro cosa intendi con l'ultima frase.

L'ultima frase dice semplicemente che visto che in ognuno degli intervalli così selezionati è presente un numero razionale, si può usare tale numero per "numerare" l'intervallo, e quindi il numero di intervalli la cui unione è pari ad $A$ è un infinità numerabile.

Nota tra l'altro che quegli intorni non sono disgiunti. Quindi la dimostrazione, scritta così, è leggermente incompleta.

Ma quello che dici è falso, ognuno di quegli intervalli è il più grande contenuto in $A$, vuol dire che se prendo un altro punto di $A$, questo o appartiene all'intervallo appena selezionato, oppure no... e se non vi appartiene non è nemmeno possibile generare un nuovo intervallo interamente contenuto in $A$ che si intersechi con un intervallo precedentemente selezionato... altrimenti l'intervallo precedente non sarebbe il più grande possibile... in ogni caso forse ho generato confusione io perché ho fatto un refuso, ho scritto intorno, ma intendevo intervallo.

Ora che ci penso, fa molta differenza, perché gli intorni sono simmetrici, quindi è banale trovare un controesempio che mostra che quegli intorni in generale non sono disgiunti... Però volevo scrivere intervalli, solo che stavo pensando agli intorni in $R^n$ e quindi ho scritto intorni. Sorry

[vict85]

Ho capito da dove deriva l'incomprensione, dal fatto che il tuo intervallo non è centrato in quel punto. In tal caso, la tua dimostrazione non si estende banalmente per \(\mathbb{R}^n\) ma funzione per la retta reale. Di fatto stai suddividendo l'aperto nelle sue componenti connesse e poi le stai contando. Il problema per \(\mathbb{R}^n\) è che una componente connessa non ha sempre la forma di una palla aperta o di un intorno. E se unisci tra di loro due aperti disgiunti allora non puoi ricavarci qualcosa di connesso.

[Bossmer]

Ho capito da dove deriva l'incomprensione, dal fatto che il tuo intervallo non è centrato in quel punto. In tal caso, la tua dimostrazione non si estende banalmente per \(\mathbb{R}^n\) ma funzione per la retta reale. Di fatto stai suddividendo l'aperto nelle sue componenti connesse e poi le stai contando. Il problema per \(\mathbb{R}^n\) è che una componente connessa non ha sempre la forma di una palla aperta o di un intorno. E se unisci tra di loro due aperti disgiunti allora non puoi ricavarci qualcosa di connesso.

Esatto!!! In $\mathbb{R}^n$ la generalizzazione della mia dimostrazione porterebbe a dire che un aperto è l'unione di una quantità al più numerabile di suoi sottoinsiemi connessi e disgiunti, che però non so di che forma siano...
Con la tua dimostrazione, mostro che un aperto è unione al più numerabile di palle contenute in $A$ e per dimostrare invece quello che voglio io cioè che $A$ è unione al più numerabile di intervalli di $\mathbb{R}^n$ , basta ripercorre la tua dimostrazione scegliendo come metrica per la bolla $d(x,y)=max(|x_i-y_i|)$ , in questo modo ogni bolla è diciamo "quadrata" e quindi è unione di un numero finito di intervalli.

è corretto? oppure c'è anche una strada che mi permette di arrivare alla stessa conclusione senza cambiare metrica alla bolla?

[vict85]

Prova a dimostrare la seguente cosa:

Siano \(\displaystyle d_2(\mathbb{x}, \mathbb{y}) = \sqrt{ \sum_{i = 1}^n ( x_i - y_i )^2 } \) e \(\displaystyle d_{\infty}(\mathbb{x}, \mathbb{y}) = \max_{1\le i\le n} \lvert x_i - y_i \rvert \) due metriche su \(\displaystyle \mathbb{R}^n \).

Allora esistono \(\displaystyle c_1, c_2 \in \mathbb{R}_{> 0} \), tali che \(\displaystyle \forall \mathbb{x}, \mathbb{y}\in \mathbb{R}^n \), \(\displaystyle c_1 d_{\infty}(\mathbb{x}, \mathbb{y}) \le d_2(\mathbb{x}, \mathbb{y}) \le c_2 d_{\infty}(\mathbb{x}, \mathbb{y}) \). Sai trovarle? Sapresti dire come potresti usare questo risultato?

[Bossmer]

Si questo è il teorema di equivalenza della metrica, anzi so dimostrare che in $\mathbb{R}^n$ tutte le metriche sono equivalenti(nel senso che esistono due costanti tali che valgono le disuguaglianze che hai scritto).

Per quanto riguarda "usare" questo risultato, in generale si, però in questo caso non sono sicuro, perché la cosa ovvia che mi dice è che data una palla $B$ con la metrica $d_2$ esistono due palle con la metrica $d_\infty$ centrate nello stesso punto della precedente , una che contiene $B$ e l'altra contenuta in $B$, e che quella contenuta ha raggio massimo pari a $\frac{r}{c_1}$... però questo è lo stesso che dire che ogni palla contiene un intervallo simmetrico di $\mathbb{R}^n$ centrato nel centro della palla...