EDO a variabili separabili e tre condizioni

[mobley]

Ho la seguente equazione differenziale

$ y'(x)=cos(x)y^3(x) $

che risolta per variabili separabili

$ int(dy)/(y^3)=intcosxdx->(y^(-3+1))/(-3+1)=sinx+c->-1/2y^(-2)=sinx+c->y^(-2)=-2(sinx+c) $
$->y^2=1/(-2(sinx+c))->y=+-(-1/(sqrt(2)sqrt(sinx+c)))$

Ora il testo chiede di calcolare la soluzione con condizione iniziale $y(x_0)=y_0$ nei tre differenti casi:
- $y_0=0$
- $y_0>0$
- $y_0<0$

Come ottengo le soluzioni?

[gugo82]

Al modo usuale: facendo i conti.


P.S.: Facendoli ti renderai conto del fatto che il metodo urang-utang non è poi tanto semplice da far funzionare.
Quindi, sarebbe meglio cominciassi ad usare qualche funzione integrale.

[dissonance]

Sono totalmente d'accordo con Gugo. @mobley: ho l'impressione che tu ti lanci a fare conti senza riflettere. E così, dividi per zero, non vedi soluzioni evidenti, eccetera.

Il mio consiglio, in generale, è di riflettere di più. Specificamente, usa le funzioni integrali invece dell'integrale indefinito (come dice bene Gugo), e verifica le soluzioni quando le trovi. Rificca la soluzione nell'equazione differenziale e vedi se ottieni una identità. Se tu farai questo sistematicamente, non avrai più dubbi come quelli di questa domanda.

[mobley]

Al modo usuale: facendo i conti.


P.S.: Facendoli ti renderai conto del fatto che il metodo urang-utang non è poi tanto semplice da far funzionare.
Quindi, sarebbe meglio cominciassi ad usare qualche funzione integrale.

Evidentemente se avessi saputo farli non avrei scritto questo post, non trovi? Quando la consapevolezza si trasforma in superbia.

Detto ciò, rinnovo la mia richiesta a voi esperti. L'unica conclusione a cui credo di esser giunto, magari sbagliando, è che al momento di dividere per $y^3$ devo porre la condizione $y!=0$, il che contrasta con la condizione $y_0=0$. Ma non so come concludere

[gugo82]

Sinceramente, continuo a non capire dove sia il problema.
Hai fatto alcuni calcoli, ma non hai terminato l'esercizio, perchè non hai imposto le condizioni iniziali all'integrale generale.
Cosa aspetti?

Se non riesci, perchè ti dà fastidio portarti dietro un parametro, fai finta che $y_0=sqrt(2)$ oppure $y_0=-pi$.

Nel caso $y_0=0$, chiediti quante soluzioni ha il problema di Cauchy e se ce n'è qualcuna che puoi determinare senza far conti.


P.S.: Il problema, qui, non è la mia "superbia", ma la tua mancanza di consapevolezza di essere certamente in grado di terminare l'esercizio da solo.
Se tu fossi sicuro di questa cosa quanto lo sono io, avresti seguito il consiglio che ti ho dato ed avresti già finito...

[mobley]

Che dire… Ci ho provato, ma non capisco bene come approcciarmi a condizioni iniziali che non siano del tipo $y(x_0)=y_0$.
So, infatti, che in tal caso dovrei sostituire $x_0$ ed $y_0$ alla soluzione generale per ottenere la costante che, sostituita nella soluzione generale, mi restituisce l'unica soluzione. Oppure, so che qualora avessi anche $y'(x_0)=y_0$ dovrei derivare la mia soluzione e costruire il sistema $y(x_0)=y_0$ e $y'(x_0)=y_0$ da cui ottenere le due costanti da sostituire nella soluzione.
Ma in questo caso ho difficoltà. Prima di tutto a capire chi è $y_0$.

Comunque, quello che ho (sicuramente sbagliando) concluso è questo:
- per $y_0=0$ non esistono soluzioni reali perchè al momento di dividere per $y^3$ ho dovuto imporre la condizione che $y!=0$, per cui se $y$ dev'essere diversa da zero non può mai essere uguale a zero.
- per $y_0>0$ la soluzione è $y_0=sqrt((-1)/(2(sinx+c)))$
- per $y_0<0$ la soluzione è $y_0=-sqrt((-1)/(2(sinx+c)))$
Ora, mi chiedo:
1) è giusto?
2) di norma, quando vengono poste condizioni del tipo $>$ o $<$, si hanno sempre due radici "coincidenti" ma di segno opposto?
3) per determinare la soluzione per $>$ e $<$ è sufficiente dire che sono, rispettivamente, la radice positiva e negativa?
4) devo sostituire qualcosa alla $x$ nelle due soluzioni? Se si, cosa? E come lo individuo, dato che in questo caso non ho $x_0$ ma soltanto $y_0$?
Spero di avervi fatto capire i miei dubbi.

[gugo82]

1) No, su tutta la linea. Dunque il resto dei punti non ha alcun senso.

Ragiona: se dovessi imporre $y(0)=1$, cosa faresti?
Cosa ti impedisce di fare lo stesso imponendo $y(0)=y_0$, con $y_0 in RR$ parametro $!=0$?

[mobley]

1) No, su tutta la linea. Dunque il resto dei punti non ha alcun senso.

Ragiona: se dovessi imporre $y(0)=1$, cosa faresti?
Cosa ti impedisce di fare lo stesso imponendo $y(0)=y_0$, con $y_0 in RR$ parametro $!=0$?

Ho lasciato per un pò questo esercizio e mi sono messo a fare qualche equazione differenziale dal libro di Spataro e Tribulato che mi avevi consigliato. Ora sto cercando di fare un po' d'ordine. Allora...
Io arrivo a dimostrare che $ y=+-sqrt((1)/(-2(sinx+c)) $, quindi mi rimangono i tre casi $y_0=0$, $y_0>0$ e $y_0<0$ con condizione iniziale $y(x_0)=y_0$. Il ragionamento dovrebbe essere il seguente.



Dal primo caso io so che $y_0=0$, quindi ho che $y(x_0)=0$: ne segue che $x_0=0$. Allora, di fatto, la condizione generale iniziale è $y(0)=y_0$. Allora:
- se $y_0$ è positivo (cioè il secondo caso):
$ y_0=+sqrt((1)/(-2(sin0+c)))=sqrt((1)/(-2c))->y_0^2=1/(-2c)->c=-1/(2y_0^2) -> y=sqrt((1)/(-2(sinx-1/(2y_0^2))) $
- se $y_0$ è negativo (cioè il terzo caso):
$ y_0=-sqrt((1)/(-2(sin0+c)))=-sqrt((1)/(-2c))->y_0^2=1/(-2c)->c=-1/(2y_0^2) -> y=-sqrt((1)/(-2(sinx-1/(2y_0^2))) $

Spero che fin qui sia corretto. Ora, trovo comunque difficoltà nel trovare la soluzione nel primo caso.

[gugo82]

Giusto.

Il primo caso ti dà fastidio perché i tuoi calcoli vanno a farsi benedire.
Tuttavia, osserva che 1) la soluzione nulla $y(x)=y_0=0$ è soluzione del P.d.C. e 2) il teorema di esistenza ed unicità ti assicura che essa è l’unica soluzione del P.d.C.
Dunque hai terminato.

Per inciso, cosa succede per $y_0=0$ lo puoi anche desumere passando al limite per $y_0->0$ i due integrali che hai trovato.
Non funziona sempre, però...

[mobley]

Ho capito. Dunque siccome non è possibile dividere per $0$, ogni volta che ho $y(x)$ al denominatore (sia che ce l'abbia già dall'equazione di partenza sia che stia dividendo per $y$ in caso di variabili separabili) devo imporre che $y$ sia tale da non annullarlo (in questo caso $y!=0$). Il valore corrispondente (in questo caso $y=0$) è soluzione costante del PdC, e per il teorema di unicità l'unica soluzione particolare (o in altri termini, per $y_0=0$ l'unica soluzione è $y=0$).