Estremi relativi di una funzione a due variabili

[Marco Beta2]

Buongiorno a tutti, ho iniziato a studiare questa tipologia di esercizio che è sempre presente al compito e vorrei chiedervi delle delucidazioni...
Ho studiato due funzioni fino ad ora, una delle quali è la seguente: $z=x^2ye^-(x^2+y^2)$
ho calcolato le derivate parziali, messe a sistema e recuperato le equazioni da studiare che sono:
${ ( 2xye^-(x^2+y^2)*(1-x^2)=0),( x^2e^(-(x^2+y^2))*(1-2y^2)=0 ):}$

quando le vado a studiare ottengo i seguenti punti (vi salto un pò di calcoli):
$A(0;0)$
$B(-1;root()(1/2))$
$C(-1;-root()(1/2))$
$D(1;root()(1/2))$
$E(1;-root()(1/2))$
$F(0;y) $ Punti dell'asse y per racchiudere quelli come i seguenti che sono di tipo (0; N)
$G(0; root()(1/2))$
$H(0; -root()(1/2))$

Ora, ho notato che su wolfram alpha analizza solo B-C-D-E e tralascia A-F-G-H (dove se non erro l'Hessiano si annulla).
Le mie domande quindi sono:
1) quali punti vado a studiare? (ovviamente per evitare calcoli e rispamiare tempo)
2) ai fini dell'esercizio, i punti con Hessiano nullo, si vanno a studiare? o si possono tralasciare?

Grazie in anticipo

[Marco Beta2]

Qualche brava persona di buona volontà che mi spieghi la situazione?

[dissonance]

Senti, non è che ti si possa dire molto, i punti con Hessiano nullo non solo non si possono assolutamente "tralasciare", ma anzi ce ne saranno sicuramente nel tuo esame perché sono proprio quelli che rendono lo studio più interessante. Ad esempio, prendi questa funzione \(f(x, y)=x^4+y^4\). È evidente che \((0,0)\) è il minimo assoluto. Ora, la matrice Hessiana di \(f\) è
\[
\begin{bmatrix} 12x^2 & 0 \\ 0 & 12y^2\end{bmatrix},\]
quindi nell'origine essa si annulla. Ma l'origine era proprio il punto interessante, da studiare.

Quindi, lascia stare Wolfram Alpha, usalo per aiutarti in compiti più meccanici, calcoli, etc... Queste cose richiedono testa, usa la tua.