semplici dimostrazioni sulle successioni

Messaggioda dRic » 10/10/2018, 18:57

Ciao, devo dare un esame di analisi e sono 3 anni che non faccio dimostrazioni come quelle che si incontrano in analisi 1, quindi mi chiedevo se potreste controllare queste dimostrazioni perché ho paura di aver fatto delle schifezze:

1) Dimostrare che se una successione converge nello spazio metrico $(X, d)$ allora è di Cauchy in $(X, d)$

Dalla definizione di successione convergente $x_n -> x$ so che

$$\forall \epsilon > 0 \space \exists n_0 : \forall \space n \geq n_0 \space d(x_n, x) < \epsilon$$ (spero sia giusta)

Se applico la disuguaglianza triangolare con un $x_m$ (con $m \geq n_0$) allora:

$$ d(x_n, x) < d(x_n, x_m) + d(x_m, x) < \epsilon $$

Ma visto che $d(x_m, x) < \epsilon $ perché la successione è convergente allora

$$ d(x_n, x_m) < \epsilon $$

che è la definizione di serie di Cauchy.

2) Dimostrare che se una successione è di Cauchy in $(X, d)$ allora la successione è limitata (faccio la dimostrazione del caso in cui sia superiormente limitata).

La dimostrazione penso sia uguale (simile) a quella "se una successione converge allora è limitata". Io farei:

fisso un $\epsilon$ a caso, tipo $\epsilon = 1$, quindi dal corrispondente $n_0$ in poi sono apposto perché so che la successione sarà limitata da, per esempio, $u = max_{n,m \ge n_0}(x_n, x_m) + 1$. Per trattare la parte minore di $n_0$, cerco il massimo $v = max_{n \le n_0} (x_n)$. Dunque la successione sarà limitata da $max(u, v)$.
Ultima modifica di dRic il 10/10/2018, 21:19, modificato 3 volte in totale.
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Re: semplici dimostrazioni sulle serie

Messaggioda gugo82 » 10/10/2018, 20:43

Se riguardi la dimostrazione di 1) confrontandola con quella di Analisi I, vedrai che non è una dimostrazione. Devi aggiustarla, tenendo presente che vuoi dimostrare $d(x_n,x_m)< epsilon$.

Per quanto riguarda la 2), il quesito non ha senso (infatti, a meno che su $X$ non ci sia pure definita una somma “decente”, non puoi parlare di serie).
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Re: semplici dimostrazioni sulle serie

Messaggioda dRic » 10/10/2018, 21:16

Scusami, ho scritto il messaggio che ero fuso... intendevo successione... Ora correggo il post originale
Chiedo venia :( :(
Ultima modifica di dRic il 10/10/2018, 21:24, modificato 1 volta in totale.
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Re: semplici dimostrazioni sulle successioni

Messaggioda dRic » 10/10/2018, 21:22

Per quanto riguarda la 1 non capisco perché non sia una dimostrazione.

Parto da questo

$$d(x_n, x) < \epsilon$$

che so essere vero per ipotesi. Poi mi trovo questo:

$$d(x_n, x_m) + d(x_m, x) < \epsilon $$

ed infine ottengo (e quindi dimostro) che

$$d(x_n, x_m) < \epsilon $$

Intendi dunque che l'ultimo passaggio non è corretto?
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Re: semplici dimostrazioni sulle successioni

Messaggioda gugo82 » 10/10/2018, 22:18

Da: \[ d(x_n, x) < \epsilon \] non segue affatto che: \[ d(x_n, x_m) + d(x_m, x) < \epsilon \] così come da $2<3$ non segue che $2.5+1.5<3$.
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Re: semplici dimostrazioni sulle successioni

Messaggioda dRic » 10/10/2018, 22:42

Già è vero... che vergogna :oops: che idiota che sono, mi sono accorto adesso di aver scritto una cappellata assurda. Ora ci ripenso. Per la seconda invece? Qualche mostruosità ?


EDIT: scusa ancora... oggi sono veramente stanco e sto continuando a scrivere boiate su boiate. Ora posto la soluzione che penso sia corretta.

Parto da
$$ d(x_n, x) < \epsilon $$

poi sommo ad entrambi i membri della disuguaglianza la quantità positiva $d(x, x_m)$ con $m \ge n_0$:

$$ d(x_n, x) + d(x, x_m) < \epsilon + d(x, x_m) $$

A questo punto posso usare la disuguaglianza triangolare

$$ d(x_n, x_m) < d(x_n, x) + d(x, x_m) < \epsilon + d(x, x_m) $$

e poi, siccome per ipotesi $d(x, x_n) < \epsilon $ allora sarà anche $ d(x, x_m) < \epsilon $ e quindi:

$$ d(x_n, x_m) < 2 \epsilon $$.
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Re: semplici dimostrazioni sulle successioni

Messaggioda Delirium » 10/10/2018, 22:51

dRic ha scritto:[...]

$$d(x_n, x_m) < \epsilon $$

Intendi dunque che l'ultimo passaggio non è corretto?

Usa questo come punto di partenza: per la disuguaglianza triangolare \( d(x_n, x_m ) \le d(x_n,x) + d(x,x_m) \le \dots \)
Mi raccomando, scrivere bene i quantificatori.
Delirium
 

Re: semplici dimostrazioni sulle successioni

Messaggioda dRic » 10/10/2018, 22:52

@delirium ho postato il mio tentativo di soluzione mentre hai commentato :-D
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Re: semplici dimostrazioni sulle successioni

Messaggioda anto_zoolander » 10/10/2018, 23:15

La farei un pelo meglio.

la dimostrazione
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
fissi $epsilon=1$ da cui esiste $k in NN$ per cui

$foralln,m in NN(n,m>k => d(x_n,x_m)<1)$

fissato $m=k+1$ e pongo $x_(k+1):=x$ si ottiene che

$forall n in NN( n>k => x_n in B(x,1))$

allo stesso modo per $nleqk$ si considera $t=max_(nleqk)d(x_n,x)$

è chiaro dunque che $d(x_n,x)leqt, forallnleqk$
già quì si può concludere, ma se vuoi proprio farla vastasa puoi considerare $r=max{t,1}$ e puoi felicemente concludere che

$foralln in NN, x_n in B(x,r)$


di fatto quello che si fa è di considerare che per una successione di Cauchy esiste almeno un punto(della successione) dalla quale essa non si allontana mai troppo.

Ciò che non mi piace della tua dimostrazione è:

dRic ha scritto:sarà limitata da, per esempio, $u = max_{n,m \ge n_0}(x_n, x_m) + 1$

questa(non sono certo del fatto che quel massimo esista, sai che al variare di $n,mgeqn_0$ quella quota è sempre minore od uguale a $1$ ma non sai se ne esistono due per cui $d(x_n,x_m)=1$)

dRic ha scritto:cerco il massimo $v = max_{n \le n_0} (x_n)$

e questa(cosa significa quel massimo?)
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Re: semplici dimostrazioni sulle successioni

Messaggioda Delirium » 10/10/2018, 23:22

dRic ha scritto:@delirium ho postato il mio tentativo di soluzione mentre hai commentato :-D

L'idea è corretta, devi solo aggiungere qualche quantificatore qua e là.
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