semplici dimostrazioni sulle successioni
Inviato: 10/10/2018, 18:57
Ciao, devo dare un esame di analisi e sono 3 anni che non faccio dimostrazioni come quelle che si incontrano in analisi 1, quindi mi chiedevo se potreste controllare queste dimostrazioni perché ho paura di aver fatto delle schifezze:
1) Dimostrare che se una successione converge nello spazio metrico $(X, d)$ allora è di Cauchy in $(X, d)$
Dalla definizione di successione convergente $x_n -> x$ so che
$$\forall \epsilon > 0 \space \exists n_0 : \forall \space n \geq n_0 \space d(x_n, x) < \epsilon$$ (spero sia giusta)
Se applico la disuguaglianza triangolare con un $x_m$ (con $m \geq n_0$) allora:
$$ d(x_n, x) < d(x_n, x_m) + d(x_m, x) < \epsilon $$
Ma visto che $d(x_m, x) < \epsilon $ perché la successione è convergente allora
$$ d(x_n, x_m) < \epsilon $$
che è la definizione di serie di Cauchy.
2) Dimostrare che se una successione è di Cauchy in $(X, d)$ allora la successione è limitata (faccio la dimostrazione del caso in cui sia superiormente limitata).
La dimostrazione penso sia uguale (simile) a quella "se una successione converge allora è limitata". Io farei:
fisso un $\epsilon$ a caso, tipo $\epsilon = 1$, quindi dal corrispondente $n_0$ in poi sono apposto perché so che la successione sarà limitata da, per esempio, $u = max_{n,m \ge n_0}(x_n, x_m) + 1$. Per trattare la parte minore di $n_0$, cerco il massimo $v = max_{n \le n_0} (x_n)$. Dunque la successione sarà limitata da $max(u, v)$.
1) Dimostrare che se una successione converge nello spazio metrico $(X, d)$ allora è di Cauchy in $(X, d)$
Dalla definizione di successione convergente $x_n -> x$ so che
$$\forall \epsilon > 0 \space \exists n_0 : \forall \space n \geq n_0 \space d(x_n, x) < \epsilon$$ (spero sia giusta)
Se applico la disuguaglianza triangolare con un $x_m$ (con $m \geq n_0$) allora:
$$ d(x_n, x) < d(x_n, x_m) + d(x_m, x) < \epsilon $$
Ma visto che $d(x_m, x) < \epsilon $ perché la successione è convergente allora
$$ d(x_n, x_m) < \epsilon $$
che è la definizione di serie di Cauchy.
2) Dimostrare che se una successione è di Cauchy in $(X, d)$ allora la successione è limitata (faccio la dimostrazione del caso in cui sia superiormente limitata).
La dimostrazione penso sia uguale (simile) a quella "se una successione converge allora è limitata". Io farei:
fisso un $\epsilon$ a caso, tipo $\epsilon = 1$, quindi dal corrispondente $n_0$ in poi sono apposto perché so che la successione sarà limitata da, per esempio, $u = max_{n,m \ge n_0}(x_n, x_m) + 1$. Per trattare la parte minore di $n_0$, cerco il massimo $v = max_{n \le n_0} (x_n)$. Dunque la successione sarà limitata da $max(u, v)$.