Ciao, scusate la mia insistenza
Vi riposto una parte di un esempio tratto da un libro su cui sto studiando
Ho una funzione definita come:
$$ u(x, t) = \sum^{\infty}_{n=1} e^{-nt} \frac {sin(nx)} {n^2}$$
in $Q = [0; \pi] \times [0; 1]$ (ovvero $x \in [0; \pi]$ e $ t \in [0; 1]$).
$u$ è convergente totalmente e ora voglio capire se è derivabile in $Q$. Faccio le derivate parziali:
$$ u_x = \sum^{\infty}_{n=1} e^{-nt} \frac {cos(nx)} {n}$$
$$ u_t = -\sum^{\infty}_{n=1} e^{-nt} \frac {sin(nx)} {n}$$
che hanno dei problemini per $t=0$. Se convergessero uniformemente allora sarebbe tutto ok, ma per $t=0$ non riesco a dimostrarlo allora non posso dire che $u$ è derivabile. Allora il libro fa questa astuzia: considera $Q^' = [0; \pi] \times [\delta; 1]$ ($\delta > 0$). In questo caso il valore assoluto delle derivate parziali per $t = \delta $ sono maggiorati da $ \frac {e^{-\delta t}} {n}$ e quindi posso dire che convergono totalmente (e quindi uniformemente). Quindi in $Q^'$ $u$ è derivabile.
A questo punto non capisco il passaggio logico:
"Poiché $u$ è derivabile in $Q^'$ allora è derivabile anche in $Q$".
Grazie in anticipo!