Sottoinsieme in $CC$

[anti-spells]

Considerare al variare di $\alpha in RR$ , il sottoinsieme: $D_\alpha = { z in CC : | (z-2-i)/(\bar z+2-i) | < \alpha }$ , si dica per quali $\alpha , D_\alpha != \phi$ esiste e disegnarne i sottoinsiemi per $\alpha in {1,2,3,4}$ .

Allora io la prima parte l'ho svolta così (spoiler: non mi esce )
$|z-2-i| < \alpha|\bar z+2-i| = |z-2-i|^2 < \alpha^2|\bar z+2-i|^2 =
z\bar z - (2-i)z - (2+i)\bar z + 1 < \alpha^2(z\bar z + 2\bar z+ i\bar z + 2z + 4 - iz +1)=
\alpha^2 > (z\bar z - (2-i)z - (2+i)\bar z + 5)/(z\bar z + (2-i)z + (2+i)\bar z + 5)$

Ora sia sopra che sotto ho un numero + il suo coniugato = $2Re(z)$ , quindi al numeratore: $Re(-2+i)z = (-2+i)(x+iy) = -2x - y$
, mentre al denominatore: $Re(2-i)z = 2x + y$

Allora otteng $\alpha^2 > (x^2 + y^2 - 4x - 2y + 5)/(x^2 + y^2 + 4x + 2y + 5) = \alpha^2 > ((x-2)^2 + (y-1)^2)/((x+2)^2 + (y+1)^2)$

Ora non so più cosa fare, non credo neanche abbiano senso i due ultimi passaggi, però se provo a moltiplicare per il denominatore a destra e sinistra ottengo una circonferenza di cui non riesco a trovare il centro

[anti-spells]

Grazie mille per la risposta, infatti la mia richiesta era proprio capire come si comporta il sottoinsieme con $\alpha$ generico, se sostituisco con 1,2,3,4 viene sicuramente più facile (come hai mostrato te)

Moderatore: Seneca

Sposto in Analisi matematica.

[anti-spells]

uppo così magari qualcuno riesce a chiarire il tutto, ci ho perso un altro po' di tempo e ho trovato che per $\alpha = 1$ ho una retta e per $\alpha = 2,3,4$ una circonferenza. per $\alpha$ generico ho fatto un po' di calcoletti rognosi (che potrebbero non essere corretti) e ho trovato che alla fine l'equazione:

$(\alpha^2 -1)(a + 2((\alpha^2 + 1))/(\alpha^2 - 1))^2 + (\alpha^2 - 1)(b + (\alpha^2 + 1)/(\alpha^2 - 1))^2 > 5((\alpha^4 - \alpha^2 + 4))/(\alpha^2 - 1)$

quindi una circonferenza di centro $C(-2p, -p) , p = 2((\alpha^2 + 1))/(\alpha^2 - 1)$ e raggio $r=sqrt(5(\alpha^4 - \alpha^2 + 4))/(\alpha^2 - 1)$

Che però per $\alpha = 1$ non esiste quindi potrei aver perso tempo per nulla :/

[pilloeffe]

Ciao anti-spells,

Anch'io ho provato a generalizzare e mi risulta quanto segue:

$ \alpha^2((x+2)^2 + (y+1)^2) > (x-2)^2 + (y-1)^2 $
$ \alpha^2(x^2 + 4x + 4 + y^2 +2y +1) > x^2 - 4x + 4 + y^2 - 2y + 1 $
$ \alpha^2(x^2 + 4x + y^2 + 2y + 5) > x^2 - 4x + y^2 - 2y + 5$
$ (\alpha^2 - 1)x^2 + (\alpha^2 - 1)y^2 + 4(\alpha^2 + 1) x + 2(\alpha^2 + 1)y + 5(\alpha^2 - 1) > 0 $
$ x^2 + y^2 + 4\frac{\alpha^2 + 1}{\alpha^2 - 1} x + 2\frac{\alpha^2 + 1}{\alpha^2 - 1} y + 5 > 0 $

posto naturalmente che sia $ \alpha^2 - 1 > 0 \implies \alpha > 1 $, dato che deve essere $\alpha > 0 $, $\alpha \ne 1 $. Quindi si può scrivere:

$(x + 2\frac{\alpha^2 + 1}{\alpha^2 - 1})^2 + (y + \frac{\alpha^2 + 1}{\alpha^2 - 1})^2 - (2\frac{\alpha^2 + 1}{\alpha^2 - 1})^2 - (\frac{\alpha^2 + 1}{\alpha^2 - 1})^2 + 5 > 0$

$(x + 2\frac{\alpha^2 + 1}{\alpha^2 - 1})^2 + (y + \frac{\alpha^2 + 1}{\alpha^2 - 1})^2 > 5(\frac{\alpha^2 + 1}{\alpha^2 - 1})^2- 5 $

$(x + 2\frac{\alpha^2 + 1}{\alpha^2 - 1})^2 + (y + \frac{\alpha^2 + 1}{\alpha^2 - 1})^2 > 5[(\frac{\alpha^2 + 1}{\alpha^2 - 1})^2- 1] $

$(x + 2\frac{\alpha^2 + 1}{\alpha^2 - 1})^2 + (y + \frac{\alpha^2 + 1}{\alpha^2 - 1})^2 > 5[\frac{\alpha^4 + 2alpha^2 + 1 - \alpha^4 + 2\alpha^2 - 1}{(\alpha^2 - 1)^2}] $

$(x + 2\frac{\alpha^2 + 1}{\alpha^2 - 1})^2 + (y + \frac{\alpha^2 + 1}{\alpha^2 - 1})^2 > \frac{20 alpha^2}{(\alpha^2 - 1)^2} $

$(x + 2\frac{\alpha^2 + 1}{\alpha^2 - 1})^2 + (y + \frac{\alpha^2 + 1}{\alpha^2 - 1})^2 > (\frac{2\sqrt{5} alpha}{\alpha^2 - 1})^2 $

Controlla i conti perché potrei tranquillamente aver commesso qualche errore, anche se il caso $\alpha = 2 $ citato da arnett mi torna.

[anti-spells]

Alla fine i conti coincidono, devo aver sbagliato qualcosa sul raggio, il numeratore è diverso, mentre per il centro della circonferenza i parametri sono uguali