Limite di (sin x -x)/x^3

[Mathita]

Sì, capisco. Però se lo aggiusti un po' puoi dimostrare che quel limite non esiste. Il tuo ragionamento mi serve esclusivamente per dire che se per assurdo il limite $L=\lim_{x\to+\infty}\cos(x)$ esistesse finito, necessariamente $L=1$ oppure $L=-\frac{1}{2}$.

Se il limite fosse $L=1$, per il teorema della permanenza del segno esisterebbe un intorno di $+\infty$ in cui il coseno è positivo (assurdo). Se il limite fosse $L=-\frac{1}{2}$, il tpds garantirebbe l'esistenza di un intorno di $+\infty$ in cui il coseno è negativo (assurdo).

Poiché $y=\cos(x)$ è una funzione limitata, i suoi limiti agli estremi non possono essere infiniti... Da qui la conclusione è breve, no?

[dissonance]

Certamente, se fai così va benissimo.

[lupin1942]

@orsoulx: molto carina, anche se a me lasciano sempre un po' sospettoso procedure in cui si dà per acquisito, in itinere, che l'oggetto che si vuol calcolare sia finito. Voglio dire: il procedimento funziona se parti dal presupposto, non ovvio, che $L$ sia finito. Tempo fa, in questa discussione, un utente mise questo link proprio sul limite in questione.

Grazie per il link, che fornisce una spiegazione completa. E grazie a tutti per le risposte.

[pilloeffe]

Ciao lupin1942,

Per l'inverso del limite proposto se ne è discusso diffusamente anche qui, sempre ipotizzando che il risultato del limite esista finito.