Integrale di linea

[Fabbioo]

Buonasera a tutti, stavo svolgendo questo esercizio:
"Sia data la curva



Calcolare l'integrale di linea lungo la linea $I=\int_\gamma e^(-y)ds$"

Mi servirebbe un aiuto sulla prima equazione.
Il mio prof dice che è possibile applicare il teorema fondamentale del calcolo integrale, per il quale $\int_a^bf'(s)ds=f(b)-f(a)$, ma a lui come risultato viene $2/sqrt(t+1)$, mentre secondo me il risultato corretto sarebbe $2/sqrt(t+1)-2$.
Qualcuno potrebbe gentilmente dirmi chi tra i due ha ragione?
Grazie mille

[Mathita]

Mi sa che hai sbagliato sezione del forum: è una domanda da analisi matematica di base.

Inoltre non è chiara la domanda che poni: il tuo professore ha calcolato il vettore velocità $\gamma'(t)$? Se sì, la derivata della prima componente coincide con quella proposta dal tuo insegnante.

[Fabbioo]

il tuo professore ha calcolato il vettore velocità γ'(t)

Sì, mi scuso per aver dato per scontato questo pezzo.

Se sì, la derivata della prima componente coincide con quella proposta dal tuo insegnante.

Non capisco proprio come faccia a non venirmi uguale al mio prof. Posso chiederti se puoi dirmi dove sbaglio?
Il calcolo che faccio è il seguente:
$\int_0^t2(s+1)^(-1/2)ds=>f(b)-f(a)=2(t+1)^(-1/2)-2*1^(-1/2)=2(t+1)^(-1/2)-2$

[Mathita]

L'integrale è sbagliato, purtroppo.

$\int_{0}^{t}2 (s+1)^{-\frac{1}{2}}ds= \left[2\cdot\frac{1}{-\frac{1}{2}+1}(s+1)^{-\frac{1}{2}+1}\right]_{s=0}^{s=t}=4\sqrt{1+t}-4$

Tra l'altro, applicando come si deve il teorema fondamentale del calcolo integrale, puoi bellamente calcolare la derivata rispetto a $t$ della funzione integrale $F(t)=\int_{0}^{t}2 (s+1)^{-\frac{1}{2}}ds$ senza esplicitare l'integrale.

Sotto le ipotesi del teorema, la derivata della funzione integrale $F(t)=\int_{t_0}^{t}f(s)ds$ coincide con $\frac{d}{dt}[F(t)]=f(t)$. Ora hai gli strumenti per concludere da solo: ripassa il teorema fondamentale del calcolo integrale.