Tipi di convergenza di serie di funzioni (alcuni chiarimenti)

[maisen]

Salve,

ho trovato questo forum cercando aiuto per risolvere il mio dubbio, tuttavia non ho trovato risposta alla vera e propria domanda. Ho quindi deciso di provare a porvela direttamente.

Ho da poco (ieri) affrontato lo studio delle serie di funzioni e dei tipi di convergenza, definizioni del tutto simili a quelle date per le successioni di funzioni.
Detto ciò mi ritrovo con un dubbio legato alle suddette, in particolare quelle di conv. uniforme e puntuale, il dubbio è il seguente:

trovata una serie convergente uniformemente su un insieme A, allora si ha sicuramente convergenza puntuale su A stesso. Non è vero il contrario (ovviamente).
Tuttavia se io prendessi un singolo punto e valutassi la presenza di una delle due convergenze in tal caso mi pare le due definizioni coincidano, ovvero se trovo convergenza puntuale su B formato da un solo elemento allora avrò anche convergenza uniforme in B

In altre parole la domanda si riduce a: posso parlare di convergenza uniforme su un insieme formato da un solo elemento? E in tal caso ho intuito giusto che le due definizioni su B={x} sono identiche? Cioè parlare di convergenza uniforme in un insieme di un singolo elemento equivale a parlare di convergenza puntuale nell'insieme dato da un singolo elemento e viceversa.
Il mio ragionamento è stato: d'altra parte la convergenza puntuale dice che per ogni x fissato vale la proprietà della definzione sull'epsilon. L'altra dice che per ogni espilon vale la proprietà che la differenza in modulo della "successioni delle somme parziali con la funzione somma è minore di epsilon", questo per ogni x in B. Tuttavia B ha solo un elemento, e posso usare l'epsilon trovato per la convergenza puntuale.

Scusate la domanda stupida.

[gugo82]

Sì, ovviamente se il dominio della successione/serie è costituito da un numero finito di elementi, le due nozioni di convergenza coincidono.
A te dimostrarlo (è facile).

Tuttavia, questi sono casi scarsamente interessanti dal punto di vista applicativo.

[anto_zoolander]

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

poi se avessi $f:NN->RR^(emptyset)$, lo stadio esploderebbe

[maisen]

Prima di tutto grazie per la risposta.

Sì, ovviamente se il dominio della successione/serie è costituito da un numero finito di elementi, le due nozioni di convergenza coincidono.

Aspetta perché temo di averti frainteso qui, mi stai dicendo che "se il dominio della successione/serie ha un numero finito di elementi se trovo una convergenza puntuale sui singoli elementi di A (A con qualsiasi numero di elementi), allora automaticamente trovo una convergenza uniforme su A?"
Non mi torna molto! E credo non saprei dimostrarlo perché mi sembrava di aver capito fosse falso.

O forse mi stavi dicendo che: "se il dominio della successione/serie ha un numero finito di elementi se trovo una convergenza puntuale su A (A insieme con un singolo elemento), allora automaticamente trovo una convergenza uniforme sul singolo elemento di A?"
In tal caso potrei goffamente provare a dimostrarlo

[anto_zoolander]

ma guarda che [convergenza uniforme $=>$ convergenza puntuale] è sempre vero

[maisen]

Caspita ho fatto un errore, in realtà lo so quel che dici ma un lapsus mi ha colpito, volevo dire l'esatto opposto ed ho corretto il precedente post.

Scusami anto_zoolander, ora dovrebbe esser giusto

[gugo82]

Prima di tutto grazie per la risposta.

Sì, ovviamente se il dominio della successione/serie è costituito da un numero finito di elementi, le due nozioni di convergenza coincidono.

Aspetta perché temo di averti frainteso qui, mi stai dicendo che "se il dominio della successione/serie ha un numero finito di elementi se trovo una convergenza puntuale sui singoli elementi di A (A con qualsiasi numero di elementi), allora automaticamente trovo una convergenza uniforme su A?"

Non solo lo sto dicendo, ma lo sto affermando in maniera convinta e sto chiedendo a te di dimostrare che ciò è vero.

La dimostrazione è davvero immediata e si fa sfruttando la definizione di convergenza puntuale ed il fatto che ogni insieme finito ha un massimo.
Se ricordi come si dimostra che il limite di una somma di successioni convergenti è la somma dei limiti, il trucco che serve è già usato lì.

[maisen]

Certo volevo solo capire quale delle due affermazioni intendessi , grazie. Ci voglio provare.

Ci ho messo un po' a rispondere perché non so usare le formule e ho copiato qua e la per non lasciare un pasticcio illeggibile.

La dimostrazione che so è questa, spero di non ricavarla sbagliata:
Per def. di limite di successione per ogni $\epsilon>0$
*esiste $n_0>0$ tale che per ogni $n>n_0$ $|a_n-a|<\epsilon$
*esiste un altro $n_1>0$ tale che per ogni $n>n_1$ $|b_n-a|<\epsilon$
Prenendo il massimo tra i due n scelti e applicando la disuguaglianza triangolare,

$|a_n+b_n-(a+b)|=|a_n-a+b_n-b|<=|b_n-b|+|a_n-a|<\epsilon+epsilon=2\epsilon$
E per l'arbitrarietà di epsilon mostro che an+bn=a+b per definizione di limite

Il trucco sarebbe qua dentro? Se sì rifletto ancora perché per me non è facile, sono abbastanza tonto.

[EDITO]
Credo di avercapito il suggerimento ma non capisco come formalizzare

Per definizione di convergenza puntuale:
Sia B dominio finito di convergenza incluso in A (dominio su cui sono definite le funzioni -termini generali dellaserie-), con A anche infinito.
fissato $x\inB$ $\epsilon>0$ esiste $n(\epsilon,x)$ t.c. per ogni $n>n(\epsilon,x)$ $|S_n(x)-S(x)|<\epsilon$

fissato $x\inB$ $\epsilon_2>0$ esiste $n(\epsilon_2,x)$ t.c. per ogni $n>n(\epsilon_2,x)$ $|S_n(x)-S(x)|<\epsilon_2$

fissato $x\inB$ $\epsilon_n>0$ esiste $n(\epsilon_n,x)$ t.c. per ogni $n>n(\epsilon_n,x)$ $|S_n(x)-S(x)|<\epsilon_n$

che saranno in numero finito, quindi a questo punto avrò

$|S_n(x)-S(x)|<\epsilon<=|S_n(x)-S(x)|<\epsilon_n<=|S_n(x)-S(x)|<\epsilon_2$ (anche a disposti casualmente, cioènon per forza 1,2,3 in serie ma anche 1,3,2 dipende dal caso)

sprendo il sup di questi, che è automaticamente il massimo, dunque varra per tutti.

Si però che schifo di spiegazione, non so formalizzare

[maisen]

Qualcuno avrebbe voglia di darmi una mano con l'ultimo post e farmi capire la dimostrazione di cui si parlava.
Lo so che è facile, ma ho proprio bisogno di formalizzarla.

[gugo82]

Come già hai osservato, se l'insieme $X$ è costituito da $K$ punti, in corrispondenza di ogni $epsilon >0$ esistono al più $K$ indici $nu_(epsilon ,1)$, $nu_(epsilon ,2)$, ..., $nu_(epsilon ,K)$ tali che:
\[
\forall n \geq \nu_{\varepsilon , k},\ |f_n(x_k) - f(x_k)| < \varepsilon
\]
per ogni $k=1,2,\ldots , K$; prendendo $nu_epsilon := max \{ nu_(epsilon ,1),\ldots , nu_(epsilon,K)\}$, le $K$ disuguaglianze scritte sopra valgono contemporaneamente per ogni $n>= nu_epsilon$, sicché:
\[
\forall n \geq \nu_\varepsilon,\ \sup_{x \in X} |f_n - f| =\max_{k=1,\ldots,K} |f_n(x_k)-f(x_k)| < \varepsilon
\]
e la successione converge uniformemente in $X$.