Sostituzione indici Sommatoria

[FurioShow]

Salve ho un problema con una sommatoria.
Io ho questa sommatoria $\sum_{k=0}^(log (n)-1) (1/3)^k$.
Usando wolfram ho visualizzato il risultato, come potete fare anche voi...ora però ho tentato delle sostituzioni:
$(1/3)^k=j$
Quindi mi so calcolato i nuovi estremi della sommatoria:
$k=0$ => $j=1$
$k=log (n)-1$ => $j=(1/3)^(log (n)-1) = 3/n$
Quindi... $\sum_{j=3/n}^(1) j$ cosa completamente diversa, come si può vedere anche dal risultato.
Cosa sbaglio?

[axpgn]

Ma gli indici di una sommatoria non devono essere interi?

[pilloeffe]

Ciao FurioShow,

Onestamente, non capisco qual è la necessità di fare delle sostituzioni: la somma proposta è quella di una progressione geometrica di ragione $1/3 $, quindi è già nella forma migliore possibile... Infatti si ha:

$ \sum_{k=0}^(log (n)-1) (1/3)^k = \frac{1 - (1/3)^{log(n) - 1 + 1}}{1 - 1/3} = \frac{1 - (1/3)^{log(n)}}{1 - 1/3} = \frac{1 - 3^{-log(n)}}{2/3} = 3/2 (1 - 3^{-log(n)}) $

[FurioShow]

Ciao FurioShow,

Onestamente, non capisco qual è la necessità di fare delle sostituzioni: la somma proposta è quella di una progressione geometrica di ragione $1/3 $, quindi è già nella forma migliore possibile... Infatti si ha:

$ \sum_{k=0}^(log (n)-1) (1/3)^k = \frac{1 - (1/3)^{log(n) - 1 + 1}}{1 - 1/3} = \frac{1 - (1/3)^{log(n)}}{1 - 1/3} = \frac{1 - 3^{-log(n)}}{2/3} = 3/2 (1 - 3^{-log(n)}) $

Si, questo lo so...vorrei capire cosa sbaglio nella sostituzione

[anto_zoolander]

Ma non ha senso quella somma!!!
Sicuro che non sia la parte intera di quel numero??

[axpgn]

Scusami pilloeffe ma qual è il senso di usare un numero non intero nella formula chiusa che calcola la sommatoria?
Posso capire che si possa usare come limite superiore della sommatoria, sottintendendo di fermarsi alla parte intera di tale numero ma usarlo direttamente mi lascia perplesso …
D'altra parte se si prova a fare due conti mi sembra che le cose non tornino …
IMHO

Cordialmente, Alex

[pilloeffe]

vorrei capire cosa sbaglio nella sostituzione

La sostituzione: non ha senso porre $(1/3)^k = j $ perché, come ti ha già scritto Alex, gli indici di una sommatoria devono essere degli interi, mentre palesemente $(1/3)^k $ non lo è... Non hai però risposto alla mia domanda implicita: qual è il fine ultimo dei tuoi tentativi di sostituzione?

@axpgn: personalmente ho inteso che $n $ non sia un numero intero, o comunque lo sia $ log(n) - 1 $, altrimenti ti do ragione sul fatto che le cose non tornano...
Ad esempio se il logaritmo è in base $10 $ e $n = 1000000 $ le cose tornano.

[axpgn]

Non si capisce cosa voglia fare … però ho anche il dubbio che non gli sia chiaro cosa sia una sommatoria … IMHO

Cordialmente, Alex

[anto_zoolander]

No. Continuo a sostenere la tesi di Alex per un semplice motivo:

Supponiamo che $log$ sia in base $10$ allora per ogni naturale $n$ la quantità $log(n)$ è naturale sse $n$ è una potenza di dieci. La inversa è ovvia, la diretta anche

Ma allora deve essere, per aver senso $log(n_m)=log(10^m)=m$

Quindi la somma sarebbe $sum_(k=0)^(m-1)(1/3)^k$ per $mgeq1$
A meno che l’utente non ha dimenticato che nel testo ci fosse scritto esplicitamente ‘dire per quali $n$ ha senso calcolare la serie’ o ‘per i valori in cui è possibile calcolare la serie, calcolarla’, altrimenti non ha senso: a sto punto si considerava direttamente quella!

Secondo me c’è un parte intera o qualsiasi altra cosa che la renda sensata.

[dissonance]

però ho tentato delle sostituzioni:
$(1/3)^k=j$

Se \(j\ge 1\), questa sostituzione ti costringe ad avere \(k\le 0\). E questo non è possibile. Ecco perché tutti i calcoli successivi non hanno senso:

Quindi mi so calcolato i nuovi estremi della sommatoria:
$k=0$ => $j=1$
$k=log (n)-1$ => $j=(1/3)^(log (n)-1) = 3/n$

@anto, alex : il problema non era tanto nel \(\log n\) nell'indice di sommatoria, quanto nella trasformazione che va "out of bounds". Comunque, non siate così duri, questa mi è sembrata una domanda interessante, fuori dagli schemi.