Sviluppo in serie di potenze

[maisen]

Buon we a tutti intanto.

Il professore ha iniziato a trattare gli sviluppi in serie di potenze, e prima di iniziare in maniera formale ha fatto un piccolo volo pindarico toccando il seguente caso:

$\sum_(n>=0) (-1)^n x^(2n)/((2n)!)[=cosx]$

Ha detto che studieremo oggetti del genere, tuttavia non ho capito quando ha detto che voleva far vedere la convergenza su tutto l'asse reale, e che applicando i metodi di rapporto e radice classici non era possibile direttamente (mostrando che è fattibile con un semplice cambio variabile), in particolare non ho capito quando ha usato il criterio del rapporto e ha scritto:

$n=0, a_0=1$
$n=1, a_1=0$ ?
$n=2, a_2=-1/2$
$n=3, a_3=0$ ?
$.$
$.$
$.$
E questo non renderebbe praticabile il rapporto poiché avrei $a_n/0$, in realtà poi mostra fallire anche la radice.

Non capisco però perché ci siano quegli zeri in posizione dispari.

Non capisco questo esempio.

[gugo82]

Appunto!
Se scrivi per esteso i termini della serie, ti accorgi che mancano tutti gli addendi contenenti le potenze dispari di $x$; dato che gli indici dei coefficienti in una serie di potenze coincidono con gli esponenti delle potenze di $x$, deduco che i coefficienti di posto dispari sono tutti nulli.


P.S.: "Volo pindarico"? Ma quando mai... Il tuo docente ha fatto un'introduzione all'argomento.

[Camillo]

$ cos x $ è una funzione pari dunque nessuna sorpresa che i termini dispari siano nulli

[maisen]

Si sono stato avventato a scrivere "Pindarico", in realtà sono io che non conoscendo quel che verrà dopo non ho capito il vero senso.
Ci ha lasciato con questo dicendo di ragionarci sopra, perché la vera spiegazione sarà lunedì.

Forseil problema era che consideravo l'indice n, quando in realtà è k=2n,dunque il coeffciente è $a_k$ e non $a_n$