Quesito sul moltiplicatore di Lagrange

[mikandri]

Buongiorno,
ho un dubbio a riguardo del seguente quesito:
"Date \( f, \, g\in C^1(R^3), \ \ \text{sia } \ \ Z=\{(x,y,z): \ g(x,y,z)=-1\}\ne\emptyset \) se \( \nabla g(P)\ne0 \) per ogni P di Z, i punti di minimo e massimo vincolato di f su Z esistono sicuramente e verificano \( \nabla f(P)=\lambda_P\nabla g(P) \ \ (\lambda_P\in R) \) ".
Dato che la funzione g è regolare ( \( g(P)=c \) e \( \nabla g(P)\ne0 \)) posso applicare il teorema dei moltiplicatori di Lagrange e quindi \( \nabla f(P)=\lambda_P\nabla g(P) \ \ (\lambda_P\in R) \).
La parte che mi confonde però del quesito è "i punti di minimo e massimo vincolato di f su Z esistono sicuramente".
Se posso applicare il teorema, i massimi e minimi vincolati esistono sicuramente?
Grazie

[anto_zoolander]

Il tuo dubbio è lecito e secondo me ci andrebbe un'ipotesi in più.
La certezza sui massimi e i minimi di una funzione ce la dona weierstrass quando il dominio è un compatto. In questo caso non c'è certezza sul fatto che $Z$ possa essere limitato, prendi:

$g(x,y)=sin(x^2+y^2)$ e l'insieme $Z={(x,y) in RR^2: g(x,y)=1/2}$ allora si avrebbe che sicuramente in $Z$ ci sta' tutto l'insieme

$bigcup_(k in NN){(x,y) in RR^2| x^2+y^2=pi/6+2kpi}$

che è illimitato e chiuso.

tra l'altro $nablag(x,y)=2xcos(x^2+y^2)hat(i)+2ycos(x^2+y^2)hat(j)$

che si annulla solo quando $x^2+y^2=pi/2+kpi$ che non sta in nessuno di quegli insiemi, quindi $nablag$ non si annulla mai su $Z$.

[anto_zoolander]

Grazie mille del chiarimento. Dato che questo quesito è del tipo vero/falso e che non abbiamo informazioni riguardanti l'essere limitato di \( Z \) direi che in questo caso la risposta più corretta sarebbe falso, o sbaglio?

[anto_zoolander]

Penso proprio che sia falso per il controesempio sopra, che rispetta tutte le ipotesi date.
Di fatto i moltiplicatori di Lagrange non ti danno certezze sull'esistenza di massimi e minimi(infatti si trovano solo punti stazionari per $f$ sul vincolo): certo se si aggiungesse l'ipotesi che $Z$ sia limitato allora sicuramente i punti di massimo e minimo esisterebbero e ne potremmo parlare.

[dissonance]

C'è un esempio molto più semplice; l'insieme
\[
\{(x, y, z)\in\mathbb R^2\ : z=0\}, \]
che si ottiene dal OP con \(g(x, y, z)=z-1\), è chiuso e non limitato. Inoltre \(\nabla g=(0,0,1)\) e quindi non si annulla mai.

È facilissimo trovare funzioni su questo insieme che non ammettono punti critici, per esempio, \(f(x, y, z)=x.\)