Buongiorno,
ho un dubbio a riguardo del seguente quesito:
"Date \( f, \, g\in C^1(R^3), \ \ \text{sia } \ \ Z=\{(x,y,z): \ g(x,y,z)=-1\}\ne\emptyset \) se \( \nabla g(P)\ne0 \) per ogni P di Z, i punti di minimo e massimo vincolato di f su Z esistono sicuramente e verificano \( \nabla f(P)=\lambda_P\nabla g(P) \ \ (\lambda_P\in R) \) ".
Dato che la funzione g è regolare ( \( g(P)=c \) e \( \nabla g(P)\ne0 \)) posso applicare il teorema dei moltiplicatori di Lagrange e quindi \( \nabla f(P)=\lambda_P\nabla g(P) \ \ (\lambda_P\in R) \).
La parte che mi confonde però del quesito è "i punti di minimo e massimo vincolato di f su Z esistono sicuramente".
Se posso applicare il teorema, i massimi e minimi vincolati esistono sicuramente?
Grazie