Disuguaglianza

[Wilde]

Ho dei dubbi su una disuguaglianza che non dovrebbe richiedere nessuna tecnica particolare ma di cui non sono per niente convinto. Cerco di essere il più chiaro possibile.

Siano
\[
p>1 \quad d\ge 1\quad n\in Z_+ \quad c>0
\]
Allora esiste $C_1$ dipendente al più da $d$ (e direi forse da c) tale che
\[
c\left((1+2^{n+1})\frac{\left(\frac{d}{d-2}\right)^np}{\left(\frac{d}{d-2}\right)^np-1} \right)^\frac{2}{p\left(\frac{d}{d-2}\right)^n}\le C_1^{n\left(\frac{d}{d-2}\right)^{-n}}
\]
(Addirittura la disuguaglianza potrebbe essere una uguaglianza).

Vi dico cosa ho fatto:
Dato che (considerando i dati iniziali)
\[
1+2^{n+1}\le 2^{n+2} \quad\quad\quad \text{e} \quad\quad\quad \frac{\left(\frac{d}{d-2}\right)^np}{\left(\frac{d}{d-2}\right)^np-1}\le \left(\frac{d}{d-2}\right)^n
\]
e che le due frazioni dentro la parentesona di base sono maggiori di 1 si ha che
\[
c\left((1+2^{n+1})\frac{\left(\frac{d}{d-2}\right)^np}{\left(\frac{d}{d-2}\right)^np-1} \right)^\frac{2}{p\left(\frac{d}{d-2}\right)^n}\le c\left[2^{n+2} \left(\frac{d}{d-2}\right)^n\right]^\frac{2}{\left(\frac{d}{d-2}\right)^n} =
c(2^2)^\frac{2}{\left(\frac{d}{d-2}\right)^n}\left[2 \left(\frac{d}{d-2}\right)\right]^2\left[2 \left(\frac{d}{d-2}\right)\right]^\frac{n}{\left(\frac{d}{d-2}\right)^n} \le c_0 \left[2 \left(\frac{d}{d-2}\right)\right]^\frac{n}{\left(\frac{d}{d-2}\right)^n}
\]
con $c_0$ dipendente da $d$.

Ora però se faccio l'ultimo passaggio per ottenere la tesi mi esce una dipendenza da $n$ della costante e questo non mi va bene.
CIoè dovrei trovare $C_1$ tale che
\[
c_0\le C_1^{n\left(\frac{d}{d-2}\right)^{-n}}
\]
ma chiaramente, in generale, non è possibile.

[dissonance]

Devi stimare \(c_0\) in modo uniforme rispetto a \(n\). Penso proprio che sia possibile;
\[
4^{2\frac{(d-2)^n}{d^n}} \le 16, \]
perché \((d-2)/d<1\). L'altro fattore non dipende da \(n\).

[gugo82]

Ma chi ha scritto una disuguaglianza così brutta?

Posto:
\[
D_n := p \left( \frac{d}{d-2}\right)^n
\]
e fatte un po' di semplificazioni, la disuguaglianza equivale a:
\[
c^{\frac{D_n}{n p}}\ \left[ \frac{D_n}{D_n - 1}\ (2^{n+1} +1)\right]^{\frac{2}{n p}} \leq C_1\; .
\]
Se $d>2$, si ha $d/(d-2)>1$ e $D_n -> +oo$ esponenzialmente, perciò il primo membro è divergente se $c>1$ e convergente se $0<c<=1$; pertanto $C_1$ esiste solo se $0<c<=1$ e la miglior $C_1$ è l'estremo superiore della successione al primo membro.

Se $1<=d<2$ si ha $d/(d-2) < -1$ e dunque $D_n$ non ha limite, perchè $D_{2h} -> +oo$ e $D_{2h+1} -> -oo$ esponenzialmente; ne viene che se $c>1$ il primo membro ha una estratta divergente (quella di posto pari) mentre se $0< c < 1$ c'è ancora un'estratta divergente (quella di posto dispari) quindi $C_1$ non lo trovi per $c!= 1$; se invece $c=1$ la successione al primo membro è convergente e tutto funziona come prima.

Morale della favola: $C_1$ esiste solo se $c=1$ e $d!= 2$ oppure se $c<1$ e $d>2$.

[Wilde]

Ora leggo le risposte, ma mi sono accorto che manca un segno meno nell'ultima disuguaglianza.
Correggo. modificandolo (scusatemi se vi ho confuso).

[gugo82]

Vabbé, mi ero anche accorto che quando gli esponenti sono negativi il ragionamento non fila proprio liscio... Ora lo riguardo comunque.


P.S.: Innanzitutto, però, ripulisci la disuguglianza... Quel $(2^(-n-1)+1)/(2^(-n-1))$ non si può proprio vedere!

[Wilde]

In effetti il libro considera il caso $d\ge 3$ pero' come pensavo anche io la disuguaglianza vale nel caso $c\le 1$.
Non mi pare di poter supporre che $c\le 1$.
Non so proprio che pesci pigliare, grazie comunque.
("correggo" la frazione nel post iniziale)

[gugo82]

Riferimento?
Così, se posso, ci do un'occhiata...

[Wilde]

Partial Differential Equation di Jurgen Jost
La pagina è 362 (ma immagino dipenda anche dall'edizione)
Comunque si trova più o meno nelle prime 20 pagine del capitolo:
The Moser Iteration Method and the Regularity Theorem of de Giorgi and Nash.

[dissonance]

Partial Differential Equation di Jurgen Jost
La pagina è 362 (ma immagino dipenda anche dall'edizione)

Infatti quando si da un riferimento bibliografico di un libro si indica anche la casa editrice e l'edizione. Tradizionalmente si includono altre informazioni (anno, città, ecc...) ma oggi con Internet non sono più necessarie.

[Wilde]

Scusatemi, c'è scritto third edition, springer, GTM