Mephlip ha scritto:Ciao Fioravante, scusa per l'estremo ritardo nella risposta ...
Il bello di un forum è che non si "lavora" a tambur battente!
Mephlip ha scritto:Fioravante Patrone ha scritto:...
Mi sa che non sai dimostrare che l'equazione data non è lineare.
Hai ragione quando dici che non lo so dimostrare, non l'ho mai dimostrato; forse partirei dal considerare la somma di due generiche soluzioni e vedere se è ancora soluzione
...
Diciamo che ho insegnato queste cose per qualche anno, e quindi ho addestrato il mio "fiuto". Ti tranquillizzo (spero) dicendoti che sei in numerosa compagnia. Secondo me, ad esempio, tra i laureati (magistrali) in ingegneria chi sa dimostrarlo è una minoranza. Banalmente, perché chi sa cosa vuol dire che una equadiff è lineare è una minoranza.
Poi c'è un
distrattore terminologico. Si parla di equadiff lineare, ma si dovrebbe dire equadiff affine, mentre "a rigore" sarebbero lineari solo le "equadiff lineari e omogenee". Ma l'uso "sbagliato" è troppo consolidato (vedasi anche la "programmazione lineare" che in realtà sarebbe "affine"). Solo un dittatore matematico universale potrebbe cambiare le cose. Un po' come se si volesse (giustamente...) cambiare il nome alla disciplina "teoria dei giochi".
La tua idea di "considerare la somma di due..." non va bene. Sappiamo che l'insieme delle soluzioni di una eqadiff lineare (
omogenea, vedi quanto detto sopra) è uno spazio vettoriale, quindi vedere se lo spazio delle soluzioni è uno spazio vettoriale è un indizio che l'equazione data sia lineare (e omogenea...), ma non è una prova.
Come si può fare una dimostrazione? Basta ricordare (o sapere per la prima volta...) cosa vuol dire che una equazione differenziale è lineare. Spero mi scuserai se mi limito a quelle del primo ordine (in forma normale). Si passa facilmente al caso dei sistemi e delle equazioni di ordine superiore, si appesantisce solo la notazione.
Allora, una equadiff (ordinaria, del 1° ordine, in forma normale) viene descritta convenzionalmente in questo modo:
$y'=f(x,y)$, dove $f:A -> RR$, essendo $A \subseteq RR^2$.
La eqaudiff è lineare se:
1. $f$ è definita "su una striscia verticale", per la precisione, esiste un intervallo $I$ di $RR$ t.c. $A = I \times RR$ (vedi nota sotto)
2. $f$ è "AFFINE(*) in $y$" (ovvero, nella "seconda variabile"). Cioè, per ogni $x \in I$, esiste una funzione lineare $L_x:RR -> RR$ e $b_x \in RR$, t.c. $f(x,y)=L_x(y)+b_x$ per ogni $y \in RR$.
Naturalmente, dire che $L_x$ è lineare vuol dire che per ogni $c_1,c_2 \in RR$ e $y_1,y_2 \in RR$, si ha che
$L_x(c_1 y_1 + c_2 y_2)= c_1 L_x(y_1) + c_2 L_x(y_2)$
Noto, ma questa è semplicemente una curiosità, che NON è richiesta NESSUNA ipotesi di regolarità su $f$ (ovviamente, oltre al soddisfare la condizione 2.). In particolare, la $f$ potrebbe essere "selvaggia a piacere" per quanto riguarda la dipendenza dalla $x$.
nota: l'ipotesi della striscia è necessaria per poter fare "impunemente" le operazioni descritte nel secondo punto(*)
cercando in rete una cosa riguardante le funzioni affini per scrivere questo post, ho trovato questa vecchia roba, che avevo completamente dimenticato (e che riguarda una wikipedia dei "tempi eroici"): viewtopic.php?t=20616Sulla altra questione, ovvero la "omogeneità", semplicemente volevo dire che normalmente se ne parla solo nel contesto delle equazioni (o sistemi) lineari.