calcolo limite

$(1+(2/(sqrtx(1+(2^x)/(sqrtx))))^(sqrtx*sinx)$

non so più continuare

Anche a me viene $1$. Il limite inoltre c'è solo a $+infty$

Per maggiore semplicità in questi casi conviene porre il limite sempre nella forma $lim_(x->infty)e^(log(1+2/(sqrtx+2^x))^(sqrtxsinx))$, a questo punto basta risolvere il limite ad esponente $lim_(x->infty)log(1+2/(sqrtx+2^x))^(sqrtxsinx)$ ed utilizzando le ben note proprietà sui logaritmi possiamo riscrivere $lim_(x->infty)(sqrtxsinx)log(1+2/(sqrtx+2^x))$ $=lim_(x->infty)(sqrtxsinx)×lim_(x->infty)log(1+2/(sqrtx+2^x))$, adesso osservando il ben noto limite notevole(asintotico) del logaritmo dovresti concludere facilmente che il tutto tende a zero,e che quindi il risultato del limite originale è $1$.

non so più continuare

Prova a cercare di rielabolarlo in modo da riuscire a fare uso del limite notevole seguente:

$\lim_{f(x) \to +\infty} (1 + \frac{1}{f(x)})^{f(x)} = e $

@SirDanielFortesque

Anche a me viene $1$

Il limite inoltre c'è solo a $+\infty $

Beh, ovviamente, dato che $\sqrt{x} $ ha dominio $D = [0, +\infty) $...

Scusate ma la forma che ho proposto a me sembra più immediata, mi sbaglio?

Ciao francicko,

Certo, è corretta anche la soluzione che hai proposto tu, sul fatto che sia più immediata è opinabile...
Così, a sensazione, a me è sembrato che l'OP cercasse una soluzione sul genere di quella verso la quale stiamo cercando di indirizzarlo gugo82 ed io...

$(1+2/(sqrtx(1+(2^x)/(sqrtx))))^(sqrtx*sinx)$

non so più continuare

Grazie che non sai continuare... Metti in evidenza l'infinito di ordine inferiore.

I calcoli con le somme di infiniti vanno fatti mettendo in evidenza gli infiniti di ordine superiore.

Per maggiore semplicità in questi casi conviene porre il limite sempre nella forma $lim_(x->infty)e^(log(1+2/(sqrtx+2^x))^(sqrtxsinx))$, a questo punto basta risolvere il limite ad esponente $lim_(x->infty)log(1+2/(sqrtx+2^x))^(sqrtxsinx)$ ed utilizzando le ben note proprietà sui logaritmi possiamo riscrivere $lim_(x->infty)(sqrtxsinx)log(1+2/(sqrtx+2^x))$ $=lim_(x->infty)(sqrtxsinx)×lim_(x->infty)log(1+2/(sqrtx+2^x))$, adesso osservando il ben noto limite notevole(asintotico) del logaritmo dovresti concludere facilmente che il tutto tende a zero,e che quindi il risultato del limite originale è $1$.

giusto due dubbi il primo...questo limite
$lim_(x->infty)log(1+2/(sqrtx+2^x))$ asintoticamente a cosa tende perchè di limiti asintotici non riesco a trovare la forma per risolvere questo limite


secondo dubbio
$=lim_(x->infty)(sqrtxsinx)$ questo limite a cosa tende e come fai a risolverlo dato che $lim_(xtoinfty) sinx$ non esiste?

Dunque... Partiamo dal metodo che ti ha indicato francicko:

$\lim_{x \to +\infty}(sqrtxsinx) log(1+2/(sqrtx+2^x)) = \lim_{x \to +\infty}\frac{2sqrtxsinx}{sqrtx+2^x} \cdot \frac{log(1+2/(sqrtx+2^x))}{2/(sqrtx+2^x)} = 0 \cdot 1 = 0 $

Dato poi che $e^0 = 1 $, ecco che il limite proposto vale $1 $.
Invece il metodo al quale volevamo condurti gugo82 ed io è il seguente:

$ \lim_{x \to +\infty}(1+ 1/\frac{sqrtx + 2^x}{2})^(sqrtx sinx) = \lim_{x \to +\infty}[(1+ 1/\frac{sqrtx + 2^x}{2})^{\frac{sqrtx + 2^x}{2}}]^{\frac{sqrtx sinx}{\frac{sqrtx + 2^x}{2}}} = e^0 = 1 $

In generale per $f(x)->0$ risulta $log(1+f(x))~~f(x)$ quindi nel nostro caso $log(1+2/(sqrtx+2^x))~~2/(sqrtx+2^x)$, osservando che a denominatore hai una somma e che l'infinito di ordine superiore prevalente è $2^x$, trascurando $sqrtx$, potresti scrivere ancora $2/(sqrtx+2^x)~~2/2^x$;
Sostituendo avremo $lim_(x->infty)sinx sqrtx 2/2^x$ $=lim_(x->infty)sinx×lim_(x->infty)2sqrtx/2^x$, adesso risulta $lim_(x->infty)2sqrtx/2^x=0$ cioe un infinitesimo, in quanto $2^x$ volge ad $infty$ più velocemente rispetto ad $2sqrtx$, mentre il limite di $lim_(x->infty)sinx$ non esiste , in quanto è una quantità che oscilla tra $1$ ed$-1$, quindi risulta però essere limitata, ed in generale si dimostra che il prodotto di una quantità limitata per un infinitesimo da un infinitesimo, cioe il limite risulta $0$ .