08/12/2018, 17:57
08/12/2018, 21:54
marco2132k ha scritto:Una cosa ovviamente importate in seguito è che, detta \( \leqq_{\mathbb{R}} \) la relazione d'ordine canonica sui reali, e dati \( x \), \( y \) reali, \( (x,y)\in{\leqq} \) sse \( (x,y)\in{\leqq_{\mathbb{R}}} \).
08/12/2018, 22:36
Certo.Indrjo Dedej ha scritto:"sse"? A dire "se e solo se"?
No. Per ora definisco l'ordine \( {\leqq} \) in \( \widetilde{\mathbb{R}} \) come, detto \( {\leqq}_{\mathbb{R}} \) l'ordine canonico sui reali, \( {\leqq}:={\leqq}_{\mathbb{R}}\cup\{(-\infty, x):x\in\mathbb{R}\}\cup\{(x, +\infty):x\in\mathbb{R}\} \), dove per definizione i simboli \( -\infty \) e \( +\infty \) differiscono da ogni \( x\in\mathbb{R} \). Questa cosa voglio sia un ordine totale.Indrjo Dedej ha scritto:Stando così le cose, le due relazioni sarebbero uguali, no?
09/12/2018, 00:31
marco2132k ha scritto: se fosse \( m\not\leqq x\) (ossia \( x < m\)
perché \( {\leqq} \) è totale), questo \( x\in\mathbb{R} \) sarebbe un maggiorante di \( S \) nei reali estesi, cosa evidentemente assurda (per def. di \( {\leqq} \)).
09/12/2018, 05:41
marco2132k ha scritto:definisco l'ordine \( {\leqq} \) in \( \widetilde{\mathbb{R}} \) come, detto \( {\leqq}_{\mathbb{R}} \) l'ordine canonico sui reali, \( {\leqq}:={\leqq}_{\mathbb{R}}\cup\{(-\infty, x):x\in\mathbb{R}\}\cup\{(x, +\infty):x\in\mathbb{R}\} \), dove per definizione i simboli \( -\infty \) e \( +\infty \) differiscono da ogni \( x\in\mathbb{R} \).
09/12/2018, 06:19
09/12/2018, 11:49
me stesso ha scritto:Consideriamo quindi \( x\in\mathbb{R}\setminus S \); dico che ancora \( x\leqq m \). Infatti, se fosse \( x\not\leqq m \) (ossia \( m < x \) perché \( {\leqq} \) è totale), questo \( x\in\mathbb{R} \) sarebbe un maggiorante di \( S \) nei reali estesi [...]
Qui intendo dire che se tale \( x\in\mathbb{R} \) fosse \( m\leqq x \), \( x\neq m \) (dove \( {\leqq} \) è l'ordine sui reali estesi) allora \( x\in S_{\widetilde{\mathbb{R}}}^{*} \) insieme dei maggioranti di \( S \) nei reali estesi; ossia, per ogni \( h\in S \), sarebbe \( h\leqq x \). Però (\( S \) non è vuoto comunque) avremmo allora che per ogni \( h\in S \) è \( h\leqq_{\mathbb{R}}x \) (relazione d'ordine canonica sui reali), e quindi (\( x\in\mathbb{R} \)) sarebbe automaticamente \( x\in S_{\mathbb{R}}^{*} \), insieme dei maggioranti reali di \( S \), che è vuoto.me stesso ha scritto:[...]cosa evidentemente assurda (per def. di \( {\leqq} \)). Allora è \( m=+\infty \) perché \( m\in\widetilde{\mathbb{R}} \), dove vi è una relazione d'ordine antisimmetrica.
Ti confesso che non mi è chiaro cosa ha di diverso quello che hai riportato tu dal messaggio originaleIndrjo Dedej ha scritto:Così va meglio, non credi?
09/12/2018, 11:59
marco2132k ha scritto:@Plepp Ad una cosa simile effetti ci ho pensato anch'io, però non capisco una cosa.
Volendo dimostrare che \( S_{\widetilde{\mathbb{R}}}^{*}=\left\{+\infty\right\} \), assumerei il contrario; allora deve essere, per qualche \( +\infty\neq x\in\widetilde{\mathbb{R}} \), \( x\in S_{\widetilde{\mathbb{R}}}^{*} \) (dato che \( S_{\widetilde{\mathbb{R}}}^{*}\subset\widetilde{\mathbb{R}} \) e \( +\infty \) è un maggiorante nei reali estesi di \( S \)). A questo punto osserverei che non essendo \( -\infty \) un maggiorante di \( S \), dovrebbe necessariamente esserlo un numero reale (ricordando che sto definendo \( \widetilde{\mathbb{R}}:=\mathbb{R}\cup\left\{\pm\infty\right\} \)), cosa evidentemente assurda, dato che per ipotesi \( S_{\mathbb{R}}^{*} \) (i maggioranti reali di \( S \)) è vuoto. \( \square \)
Ora, ciò che provi tu è (credo) lo stesso che sto provando io, parò assumi che \( S \) sia superiormente limitato: perché? Credo sia un semplice errore di battitura, dato che il tuo ragionamento mi sembra uguale a quello appena fatto.
09/12/2018, 12:12
Non sono d'accordo; questo thread mi ricorda quest'altro, recente, in algebra lineare:Indrio ha scritto:finalmente qualcosa di bello
09/12/2018, 12:23
dissonance ha scritto:Non sono d'accordo
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