lepre561 ha scritto:ah intendi la risoluzione del limite fermandomi al primo ordine?
$(x^6+o(x^8))/((x^2+o(x^4)-(x^2+o(x^8))$
Esatto!
(Ma attenzione! Hai sbagliato a scrivere
tutti i resti... Li correggo sotto.
)
Da qui ti accorgi che le cose non funzionano: infatti, svolgendo i soliti contarielli, trascurando i termini d'ordine superiore ed usando le regole sulla somma degli $"o"$-piccoli, trovi:
\[
\frac{x^6 + \text{o} (x^6)}{(x^2 + \text{o} (x^2)) - (x^2 + \text{o} (x^2))} = \frac{x^6 + \text{o} (x^6)}{\text{o} (x^2) - \text{o} (x^2)} = \frac{x^6}{\text{o}(x^2)}\; .
\]
L'ultimo membro è in una forma non utilizzabile per il calcolo del limite, che si riduce a:
\[
\lim_{x\to 0} \frac{x^6}{\text{o}(x^2)}\; ,
\]
perché le informazioni sul comportamento del denominatore sono troppo "imprecise": infatti, ad esempio, il termine $"o"(x^2)$ può nascondere un termine $x^4$, un $x^6$ o anche un $x^8$ ed il comportamento delle frazioni:
\[
\frac{x^6}{x^4}\; ,\qquad \frac{x^6}{x^6}\;, \qquad \frac{x^6}{x^8}
\]
al limite per $x\to 0$ è diversissimo!
Nasce quindi la necessità di rendere l'approssimazione più precisa.
Dato che i problemi sono dovuti alla presenza di una differenza al denominatore (la quale elimina le informazioni precise sulla parte principale di $log(1+x^2) - sin x^2$), è chiaro che bisogna lavorare lì; dunque, prendiamo gli sviluppi di Taylor al secondo ordine utile di entrambi i termini della differenza:
\[
\begin{split}
\log (1+x^2) &= x^2 -\frac{1}{2} x^4 + \text{o}(x^4)\\
\sin x^2 &= x^2 - \frac{1}{6} x^6 + \text{o}(x^6)\; ,
\end{split}
\]
e sfruttiamo le stesse tecniche di calcolo usate sopra per stabilire che:
\[
\log (1+x^2) - \sin x^2 = -\frac{1}{2} x^4 + \text{o}(x^4)
\]
(osserva che i termini $x^6$ ed $"o"(x^6)$ sono di ordine superiore a $"o"(x^4)$ e perciò vengono "fagocitati" da quest'ultimo).
Ora, formiamo nuovamente il rapporto tra le espansioni di Taylor e proviamo a calcolare il limite:
\[
\lim_{x\to 0} \frac{x^6 + \text{o}(x^6)}{-\frac{1}{2} x^4 + \text{o} (x^4)} = \lim_{x\to 0} -2 \frac{x^6}{x^4} = \lim_{x\to 0 } -2x^2 = 0\ldots
\]
... Tutto liscio.
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)