matos ha scritto:E' giusto lo svolgimento del ps per il limite proposto?
No perché hai fatto il confronto di infiniti solo per il denominatore, anche se poi il risultato finale è corretto. In realtà il confronto di infiniti non è neanche necessario, basta raccogliere il termine dominante ($2n$) al denominatore:
$ \lim_{n \to +\infty}\root[n]{sqrt(4n^2+sqrtn)-2n} = \lim_{n \to +\infty}\root[n]{\frac{(sqrt(4n^2+sqrtn)-2n)\cdot (sqrt(4n^2+sqrtn)+2n)}{sqrt(4n^2+sqrtn)+2n}} = $
$ = \lim_{n \to +\infty}\root[n]{\frac{sqrtn}{sqrt(4n^2+sqrtn)+2n}} = \lim_{n \to +\infty}\root[n]{\frac{sqrtn}{2n(sqrt(1+sqrtn/(4n^2))+ 1)}} = $
$ = \lim_{n \to +\infty}\root[n]{\frac{1}{2sqrt{n}(sqrt(1+sqrtn/(4n^2))+ 1)}} = \lim_{n \to +\infty}\frac{1}{2^{1/n} n^{1/(2n)}(sqrt(1+sqrtn/(4n^2))+ 1)^{1/n}} = 1 $
posto che $ \lim_{n \to +\infty} n^{1/n} = 1 $ (se non l'hai già visto nella teoria potresti provare a dimostrarlo...
)