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Formula di Taylor in forma locale

06/01/2019, 23:35

Ho un problema nella comprensione di una dimostrazione proposta dal testo che sto seguendo: V. Zorich - Mathematical Analysis I.

Il teorema in questione è quello che legittima la formula di Taylor in forma locale, ed è il seguente:

Se una funzione \(\displaystyle \phi:E\to\mathbb{R} \), definita su un intervallo chiuso \(\displaystyle E \) dove \(\displaystyle x_0 \) è uno dei due estremi, ammette derivate in \(\displaystyle x_0 \) fino all'ordine \(\displaystyle n \) (incluso) e risulta che \(\displaystyle \phi (x_0)=\phi'(x_0)=...=\phi^{(n)}(x_0)=0 \), allora \(\displaystyle \phi (x)=\mathcal{o}\left( (x-x_0)^n\right) \) per \(\displaystyle E\ni x \to x_0 \).

La dimostrazione che il testo propone è per induzione e la riassumo io di seguito.
Sia $$\mathcal{A}=\{ n\in\mathbb{N} | \phi (x_0)=\phi '(x_0)=...=\phi ^{(n)}(x_0)=0 \Rightarrow \phi (x)=\mathcal{o}\left( (x-x_0)^n\right) \; \text{per} \; E\ni x \to x_0 \} $$
e occorre dimostrare che \(\displaystyle \mathcal{A}=\mathbb{N} \).

\(\displaystyle \phi (x_0)=\phi '(x_0)=0 \Rightarrow \phi(x)=\phi(x)-\phi(x_0)=\phi '(x_0)(x-x_0)+\mathcal{o}(x-x_0)=\mathcal{o}(x-x_0) \Rightarrow 1\in\mathcal{A} \).

Poi:

se \(\displaystyle n\in\mathcal{A} \) allora \(\displaystyle \phi (x_0)=\phi'(x_0)=...=\phi^{(n)}(x_0)=0 \Rightarrow \phi (x)=\mathcal{o}\left( (x-x_0)^n\right) \; \text{per}\; E\ni x\to x_0 \). Devo verificare che in questa situazione anche \(\displaystyle n+1 \in \mathcal{A} \).
Siccome per ipotesi siamo nel caso in cui \(\displaystyle \phi (x_0)=\phi '(x_0)=...=\phi ^{(n)}(x_0)=\phi ^{(n+1)}(x_0)=0 \) allora esiste almeno \(\displaystyle \phi ^{(2)}(x_0) \), dunque \(\displaystyle x_0 \) deve essere ancora di accumulazione anche per \(\displaystyle E' \), dove ho indicato con \(\displaystyle E'\subset E \) l'insieme dei punti di \(\displaystyle E \) in cui \(\displaystyle \phi '(x) \) esiste.
Dunque ha senso poter affermare che per ipotesi induttiva:

\(\displaystyle \phi '(x)=\mathcal{o}\left( (x-x_0)^n\right) \; \text{per} \; E'\ni x \to x_0 \)

A questo punto per concludere il testo utilizza il teorema di Lagrange su \(\displaystyle \phi '(x) \), affermando che \(\displaystyle \exists \xi \) tra \(\displaystyle x \) e \(\displaystyle x_0 \) tale che:

\(\displaystyle \phi (x) = \phi (x) -\phi (x_0)=\phi (\xi )(x-x_0) \)

che secondo me non va bene in quanto non si sa se \(\displaystyle \phi '(x) \) sia effettivamente ancora definita su un intervallo chiuso, quindi tantomeno non si può sapere se sono verificate le ipotesi di continuità e derivabilità richieste per l'applicazione del teorema di Lagrange.

Mi sono perso qualcosa o si devono veramente allargare un pò le ipotesi iniziali?

Re: Formula di Taylor in forma locale

07/01/2019, 23:43

Ancora col libro che definiva a casaccio gli intervalli?

Cambialo.

Re: Formula di Taylor in forma locale

08/01/2019, 09:04

Si, ancora lui.
Per ora questo ho a disposizione purtroppo, magari andró a vedere online se l’enuciato di questo teorema è effettivamente quello riportato o è differente.
Nel frattempo ti chiedo, per favore, se puoi dirmi se il modo in cui ho ragionato io è corretto o sbaglio anche io.

Grazie in ogni caso.

PS: prima di fare acquisti sbagliati e spendere soldi inutilmente, il libro che mi consigliavi ero andato a cercarlo. Potresti dare un’occhiata agli MP? Ti farà perdere poco tempo, promesso.
Grazie ancora.

Re: Formula di Taylor in forma locale

13/01/2019, 11:30

Sono andato a cercare nei riferimenti che mi hai dato.
Ho trovato un teorema analogo sul Pagani-Salsa, il quale però lo dimostra facendo uso di de l'Hôpital. Io stavo cercando di farlo senza.
Ad ogni modo, anche facendo uso di tale teorema vedo qualcosa che non va (problema mio sicuramente). In particolare una delle ipotesi per la validità di de l'Hôpital è la differenziabilità della funzione in un intero intervallo aperto, cosa non contemplata affatto nell'enunciato in [1] (e nemmeno nell'enunciato del Pagani-Salsa).

In altre parole, lo stesso problema che riscontravo io sotto altre forme.

Re: Formula di Taylor in forma locale

13/01/2019, 11:51

Qual è l'enunciato che si trova nel Pagani-Salsa?

Re: Formula di Taylor in forma locale

13/01/2019, 13:38

È nel capitolo sulle funzioni differenziabili, paragrafo ‘Formula di Taylor’. La pagina non so dirtela al momento perché non sono a casa.
Ad ogni modo, anche nell’enunciato proposto dal Pagani-Salsa si legge come ipotesi la differenziabilità della funzione in questione (n volte) solo in un punto, e non in un intero intervallo.
Ciò fa sorgere dunque la mia obiezione in [1].

Se non riesci a trovarlo, appena torno a casa ti dico anche la pagina.

Re: Formula di Taylor in forma locale

13/01/2019, 14:09

Dire che una funzione è derivabile $n$ volte in un punto implica che la tale funzione è derivabile $n-1$ volte intorno a tale punto.
Infatti la derivata $f^((n))(x_0)$ è il limite del rapporto incrementale di $f^((n-1))(x)$ in $x_0$ e dunque non avrebbe alcun senso se $f$ non fosse derivabile $n-1$ volte (almeno) intorno ad $x_0$. :wink:

Re: Formula di Taylor in forma locale

13/01/2019, 18:33

Senza dubbio, infatti non è quello il problema.
In [1] ho portato avanti autonomamente la dimostrazione passo dopo passo proprio per questo motivo: una cosa è dire che la derivata (n-1)esima esiste in un intorno di \(\displaystyle x_0 \) contenente punti del dominio della funzione originale, un'altra è affermare che esiste in un intero intervallo aperto della forma \(\displaystyle (a,b) \).

Esempio: una cosa è dire che \(\displaystyle f \) è derivabile in tutti i punti della forma \(\displaystyle \left\{ \pm \frac{1}{n}\right\}_{n\in \mathbb{N}} \), altra è dire che è derivabile in \(\displaystyle (-1, 1) \).

La mia obiezione nasce, in [1], nel momento in cui si utilizza il teorema di Lagrange, il quale prevede appunto l'esistenza della derivata in un intero intervallo.

Re: Formula di Taylor in forma locale

13/01/2019, 19:20

Ah, vabbè, ti manca un’ipotesi... Aggiungicela.

Non avevo capito il punto “per abitudine”: di solito, quando enuncio il teorema, specifico sempre che $f$ è derivabile $n-1$ volte in $]a,b[$ ed $n$ volte in $x_0$.
Quindi non mi ero posto il problema che un testo potesse aver saltato quell’ipotesi.

Inoltre, leggi bene il testo: può darsi che nell’uso della locuzione “derivabile $n$ volte in $x_0$” sia implicita l’ipotesi di derivabilità $n-1$ volte dappertutto.

Re: Formula di Taylor in forma locale

13/01/2019, 19:30

Neanche il Pagani-Salsa la mette (*). Siamo sicuri sia solo una ipotesi mancante?
Da quanto ho capito c'è una profonda differenza tra il resto in forma di Peano e quello in forma di Lagrange.
Il primo infatti necessita appunto solo della derivabilità \(\displaystyle n \) volte in un punto \(\displaystyle x_0 \), mentre per il secondo serve la derivabilità in interi intervalli \(\displaystyle (a,b) \).
Questa differenza viene anche marcata qui:

https://math.stackexchange.com/question ... aylors-for

nell'unica risposta presente.
Viene poi marcata e commentata esplicitamente anche dallo Zorich.

(*) Teorema 2.9 pagina 314/315.
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