Matematicamente.it

Allora... Gli enunciati classici dei teoremi sulla formula di Taylor sono i seguenti:

Siano $(a,b)$ un intervallo, $f:(a,b) -> RR$ una funzione ed $x_0$ interno ad $(a,b)$.
Se $f$ è derivabile $n-1$ volte in $(a,b)$ ed $n$ volte in $x_0$, allora la differenza tra $f$ ed il suo polinomio di Taylor $T_n(*;x_0)$ d’ordine $n$ centrato in $x_0$ è infinitesima in $x_0$ d’ordine superiore ad $(x-x_0)^n$, i.e.:
\[
\lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - T_n(x;x_0)}{(x-x_0)^n} = 0\; .
\]
In altre parole, il resto $r_n$ della formula di Taylor è infinitesimo in $x_0$ d’ordine superiore ad $n$, cioè:
\[
r_n(x) = \text{o} ( (x-x_0)^n)\; .
\]

Siano $(a,b)$ un intervallo, $f:(a,b) -> RR$ una funzione ed $x_0$ interno ad $(a,b)$.
Se $f$ è derivabile $n+1$ volte in $(a,b)$ allora per ogni $x in (a,b)$ esiste un $xi in [ min\{ x,x_0\}, \max \{ x,x_0\} ]$ tale che
\[
r_n (x) = \frac{1}{(n+1)!}\ f^{(n+1)} (\xi )\ (x-x_0)^{n+1}\;.
\]

Detto ciò, ti spiacerebbe chiarire per bene cosa ti sembra strano?

Sintetizzando...
E' corretto questo enunciato:

Se una funzione \(\displaystyle \phi:E\to\mathbb{R} \), definita su un intervallo chiuso \(\displaystyle E \) dove \(\displaystyle x_0 \) è uno dei due estremi, ammette derivate in \(\displaystyle x_0 \) fino all'ordine \(\displaystyle n \) (incluso) e risulta che \(\displaystyle \phi (x_0)=\phi'(x_0)=...=\phi^{(n)}(x_0)=0 \), allora \(\displaystyle \phi (x)=\mathcal{o}\left( (x-x_0)^n\right) \) per \(\displaystyle E\ni x \to x_0 \).

o questo:

Se una funzione \(\displaystyle \phi:E\to\mathbb{R} \), definita su un intervallo chiuso \(\displaystyle E \) dove \(\displaystyle x_0 \) è uno dei due estremi, è derivabile \(\displaystyle (n-1) \) volte in \(\displaystyle E \), ammette derivate in \(\displaystyle x_0 \) fino all'ordine \(\displaystyle n \) (incluso) e risulta che \(\displaystyle \phi (x_0)=\phi'(x_0)=...=\phi^{(n)}(x_0)=0 \), allora \(\displaystyle \phi (x)=\mathcal{o}\left( (x-x_0)^n\right) \) per \(\displaystyle E\ni x \to x_0 \).



Fatti a favore della prima formulazione:

1. Il libro da cui tutto è partito, lo Zorich, commenta esplicitamente la presenza di una differenza molto profonda tra la formulazione del resto di Peano rispetto a quella di Lagrange/Cauchy. In particolare dice proprio che tale differenza consiste nel fatto che il teorema sul resto secondo Peano necessità di ipotesi ridotte, ovvero della sola derivabilità ($n$ volte) nel punto d'approssimazione \(\displaystyle x_0 \) (da cui ovviamente discende di conseguenza che si avrà derivabilità in un intorno di $x_0$ in $E$ delle derivate di ordine inferiore a $n$).

2. Anche sul link che ho postato nel messaggio precedente si sottolinea la stessa cosa.

3. Il Pagani-Salsa anch'esso non inserisce nelle ipotesi quanto c'è in grassetto nella seconda versione che ho scritto dell'enunciato.

4. Ancora lo Zorich, afferma come spunto di riflessione che la formula di Taylor con resto di Peano è la generalizzazione della definizione di differenziabilità in un punto, a cui ci si riduce quando \(\displaystyle n=1 \). Se guardo il secondo enunciato con $n=1$ ottengo una cosa un pò strana, dove diventa necessaria una ipotesi di continuità di $\phi$ per poter affermare che \(\displaystyle \phi (x_0)=\phi '(x_0)=0 \Rightarrow \phi (x)=\mathcal{o}(x-x_0) per E \ni x\to x_0 \).

EDIT: ho risposto prima che editassi il tuo messaggio.

Ripeto: non ha alcun senso dire che una funzione è derivabile $n$ volte in un punto se non si assume che essa sia derivabile $n-1$ volte intorno a tale punto.
Visto, poi, il carattere locale del teorema si può assumere senz’altro che la funzione in esame sia derivabile $n-1$ volte ovunque nel suo insieme di definizione, anziché solo intorno al punto che interessa.

Mi stai dicendo dunque che i due enunciati che ho proposto io sono equivalenti?

Sì.
E secondo me se vai a spulciare bene nel testo, da qualche parte è detto esplicitamente quel che ti ho scritto.

Inoltre, le osservazioni che vengono fatte dagli autori continuano a valere: basta che confronti i due enunciati per rendertene conto.

gugo82 ha scritto:Sì.

Allora ti chiedo scusa gugo82, ma proprio non riesco a capire.
Provo a ridire dove io non vedo l'equivalenza tra le due cose.

\(\displaystyle \phi: [a,x_0]\to\mathbb{R} \) è la nostra funzione.
Diciamo che esiste \(\displaystyle \phi ^{(n)}(x_0) \), allora esiste \(\displaystyle \phi^{(n-1)} (x) \) sia in $x_0$ che in un insieme di punti di $E$ per il quale $x_0$ è di accumulazione. Chiamiamo $E'$ questo insieme di punti ($x_0$ compreso). Chi mi garantisce che $E'$ sia un insieme della forma $[b,x_0]$? (\(\displaystyle a\leq b \))

Direi nessuno, e forse è qui che sbaglio ma ancora non vedo perché.

Aggiunta postuma: forse ho capito dove mi intoppo. Chiedo allora per favore una conferma.
Se ad esempio ho una funzione \(\displaystyle f:[0,1]\to\mathbb{R} \) derivabile solo nei punti \(\displaystyle \mathcal{A}=\left\{\frac{1}{n} \right\}_{n\in\mathbb{N}} \cup \{0\}\), posso ancora parlare di 'derivata seconda di $f$ in $0$' calcolandola così?

$$\lim_{\mathcal{A} \ni x\to 0}\frac{f'(x)-f'(0)}{x-0}$$

Oppure con 'derivata seconda di $f$ in $0$' si intende solo (\(\displaystyle 0\leq a\leq b\leq 1 \)):

$$\lim_{[a,b]\ni x\to 0}\frac{f'(x)-f'(0)}{x-0}$$

con l'ovvia ipotesi implicita di esistenza obbligatoria di \(\displaystyle f' \) in tutto $[a,b]$?

Grazie della pazienza e scusa se sono duro a capire.

Quale parte della frase “$f$ è derivabile $n-1$ volte intorno ad $x_0$” non ti è chiara?

"intorno ad".

Se puoi, mi sarebbe molto utile sapere con certezza che:

\[ \lim_{\mathcal{A} \ni x\to 0}\frac{f'(x)-f'(0)}{x-0} \]

non è possibile chiamarla derivata seconda di $f$ in $0$, mentre invece:

\[ \lim_{[a,b]\ni x\to 0}\frac{f'(x)-f'(0)}{x-0} \]

sì.

Ianero ha scritto:"intorno ad".

Giusto... D’altra parte, se un testo non si prende la briga di definire cristianamente cos'è un intervallo, perché il lettore dovrebbe sapere cosa significa “intorno ad un punto”?

Dire che una certa proprietà è soddisfatta “intorno ad $x_0$” (o “definitivamente intorno ad $x_0$”) significa affermare che esiste un intorno di tal punto, i.e. un intervallo aperto (o anche chiuso o semiaperto, basta che contenga almeno un paio di punti distinti) cui $x_0$ appartiene, nei punti del quale la certa proprietà è soddisfatta.

Dunque “$f$ è derivabile $n-1$ volte intorno ad $x_0$” significa che esiste un intervallo $(x_0 - delta , x_0+delta)$ in cui $f$ è derivabile $n-1$ volte.
Affinché $f$ sia derivabile $n$ volte in $x_0$ c'è bisogno che essa sia derivabile $n-1$ volte in tutto un intorno di $x_0$; intorno che nel caso dello Zorich è un intervallo del tipo $(x_0-delta, x_0] subset (a,x_0]$, mentre nei miei enunciati è un intorno completo $(x_0-delta , x_0+delta)$.

Ianero ha scritto:Se puoi, mi sarebbe molto utile sapere con certezza che:

\[ \lim_{\mathcal{A} \ni x\to 0}\frac{f'(x)-f'(0)}{x-0} \]

non è possibile chiamarla derivata seconda di $f$ in $0$, mentre invece:

\[ \lim_{[a,b]\ni x\to 0}\frac{f'(x)-f'(0)}{x-0} \]

sì.

Ovvio.
Il primo limite non è la derivata di alcunché.

Tanto per fare un esempio, sai che¹ la funzione $ f(x) := \{ (x sin (1/x), text(, se ) x!=0 ), ( 0, text(, altrimenti) ) :}$ non è derivabile in $0$; tuttavia il limite del rapporto incrementale in $0$ fatto lungo i punti della successione $A:=\{ x_n\}$ con $x_n = 1/(pi n)$ esiste e anzi risulta:
\[
\lim_{A\ni x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_n \sin \pi n = 0\; .
\]

---

Ti ringrazio molto.