Discussioni su programma di analisi 1 e 2: numeri complessi, calcolo di una o più variabili reali, equazioni differenziali ordinarie.
08/01/2019, 17:15
salve ragazzi.
dato il limite:
$ lim_(x -> 0) (e^(sin^2x)-cos(x))/(1-cos^2(x)) $
pensavo di svolgerlo utilizzano gli sviluppi di Taylor:
$ e^x=1+x+x^2/2+x^3/6 $
$ e^(sin^2x)=1+sin^2x+(sin^2x)^2/2+(sin^2x)^3/6 $
$ cos(x)=1-x^2/2+x^4/24 $
$ cos^2(x)=1-x^4/2+x^8/24 $
sostituisco con gli sviluppi all'intero dell'limite:
$ lim_(x -> 0) (1+x+x^2/2+o(x^2)-1-x^2/2+o(x^2))/(1-1-x^4/2) $
l'impostazione e gli sviluppi sono corretti?
come vado avanti?
Grazie!
08/01/2019, 18:55
L’ordine sotto é diverso da quello sopra
08/01/2019, 19:26
Ciao cri98,
Mah, usare gli sviluppi in serie per risolvere un limite del genere è un po' come sparare ad un canarino con un cannone da 406: indubbiamente lo fai secco, ma basta decisamente molto meno...
Infatti si vede quasi subito che si ha:
$\lim_{x \to 0} (e^(sin^2x)-cos x)/(1-cos^2x) = \lim_{x \to 0} (e^(sin^2x)-cos x)/(sin^2x) = \lim_{x \to 0} (e^(sin^2x) - 1 + 1 - cos x)/(sin^2x) = 3/2 $
08/01/2019, 20:10
cri98 ha scritto:salve ragazzi.
dato il limite:
$ lim_(x -> 0) (e^(sin^2x)-cos(x))/(1-cos^2(x)) $
pensavo di svolgerlo utilizzano gli sviluppi di Taylor:
$ e^x=1+x+x^2/2+x^3/6 $
$ e^(sin^2x)=1+sin^2x+(sin^2x)^2/2+(sin^2x)^3/6 $
$ cos(x)=1-x^2/2+x^4/24 $
$ cos^2(x)=1-x^4/2+x^8/24 $
sostituisco con gli sviluppi all'intero dell'limite:
$ lim_(x -> 0) (1+x+x^2/2+o(x^2)-1-x^2/2+o(x^2))/(1-1-x^4/2) $
l'impostazione e gli sviluppi sono corretti?
come vado avanti?
Grazie!
Al di là del limite, alcuni sviluppi sono sbagliati, per $x->0$ si ha:
$e^(sin^2(x)) = e^(x^2+o(x^2)) = 1+x^2+o(x^2)$
$cos^2(x) = (1-x^2/2+o(x^2))^2 = 1-x^2+o(x^2)$
09/01/2019, 18:03
pilloeffe ha scritto:Ciao cri98,
Mah, usare gli sviluppi in serie per risolvere un limite del genere è un po' come sparare ad un canarino con un cannone da 406: indubbiamente lo fai secco, ma basta decisamente molto meno...
Infatti si vede quasi subito che si ha:
$\lim_{x \to 0} (e^(sin^2x)-cos x)/(1-cos^2x) = \lim_{x \to 0} (e^(sin^2x)-cos x)/(sin^2x) = \lim_{x \to 0} (e^(sin^2x) - 1 + 1 - cos x)/(sin^2x) = 3/2 $
Grazie pilloeffe per la risposta, ho utilizzato il tuo suggerimento e tutto torna.
Obidream ha scritto:Al di là del limite, alcuni sviluppi sono sbagliati, per $ x->0 $ si ha:
$ e^(sin^2(x)) = e^(x^2+o(x^2)) = 1+x^2+o(x^2) $
$ cos^2(x) = (1-x^2/2+o(x^2))^2 = 1-x^2+o(x^2) $
Grazie Obidream per la risposta
per gli sviluppi di taylor ho capito dove ho sbagliato.
se voglio continuare con Taylor come vado avanti?
Grazie
11/01/2019, 01:08
Io posso anche farti vedere i passaggi, però non è il massimo come cosa, dovresti provarci tu:
$lim_(x->0) (e^(sin^2(x))-cos(x))/(1-cos^2(x))$
Considerando gli sviluppi scritti sopra:
$lim_(x->0) ((1+x^2+o(x^2))-(1-x^2/2+o(x^2)))/(1-(1-x^2+o(x^2))$
$lim_(x->0) (3/2x^2+o(x^2))/(x^2+o(x^2))$
$lim_(x->0) (x^2(3/2+o(1)))/(x^2(1+o(1))) = 3/2$
L'esercizio non è difficile però dovresti provare a fare per bene i conti e capire perché il $cos^2(x)$ ha quello sviluppo e non ciò che hai scritto tu prima ( che in realtà è quello di $cos(x^2)$, da qui l'errore)
11/01/2019, 14:36
Obidream ha scritto:Io posso anche farti vedere i passaggi, però non è il massimo come cosa, dovresti provarci tu:
$ lim_(x->0) (e^(sin^2(x))-cos(x))/(1-cos^2(x)) $
Considerando gli sviluppi scritti sopra:
$ lim_(x->0) ((1+x^2+o(x^2))-(1-x^2/2+o(x^2)))/(1-(1-x^2+o(x^2)) $
$ lim_(x->0) (3/2x^2+o(x^2))/(x^2+o(x^2)) $
$ lim_(x->0) (x^2(3/2+o(1)))/(x^2(1+o(1))) = 3/2 $
L'esercizio non è difficile però dovresti provare a fare per bene i conti e capire perché il $ cos^2(x) $ ha quello sviluppo e non ciò che hai scritto tu prima ( che in realtà è quello di $ cos(x^2) $, da qui l'errore)
perfetto Obidrem lo svolgimento dell'esercizio lo considero come guida per capire quando vado a svolgerlo nuovamente dove sto errando.
Grazie mille
11/01/2019, 15:50
Obidream ha scritto:cri98 ha scritto:
$ e^x=1+x+x^2/2+x^3/6 $
$ e^(sin^2x)=1+sin^2x+(sin^2x)^2/2+(sin^2x)^3/6 $
$ e^(sin^2(x)) = e^(x^2+o(x^2)) = 1+x^2+o(x^2) $
come hai fatto a svilupparlo?
Grazie!
11/01/2019, 16:07
Beh, innanzitutto è inutile sviluppare tutta quella roba, è sufficiente fermarti a:
$e^(sin^2(x)) = 1 + sin^2(x) + o(sin^2(x))$
Sviluppando anche il seno:
$1 + (x+o(x))^2+o(x^2+o(x^2))$
$1+x^2+2*o(x^2)+o(x^2)+o(x^2) = 1 + x^2 + o(x^2)$
Ti basta fermarti al secondo ordine perché hai una roba del tipo:
$e^x-cos(x)$ e se sviluppi solo al primo hai: $1+o(x)-1+o(x) = o(x)$, quindi devi passare all'ordine successivo.
11/01/2019, 16:26
perfetto Obidream,
adesso mi è tutto chiaro.
Grazie
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