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Discussioni su programma di analisi 1 e 2: numeri complessi, calcolo di una o più variabili reali, equazioni differenziali ordinarie.

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Asintoti funzione razionale fratta

10/01/2019, 17:39

Salve a tutti!

Sto svolgendo un esercizio in cui chiede di trovare eventuali asintoti di questa funzione:

$f(x)=(x^2-2x)/(x^2-4)$

La funzione, ovviamente non è definita in -2 e 2.

Il risultato del limite per x che tende a 2 viene fuori un $0/0$ che è una forma indeterminata, fin qui ok.

Scompongo:

$(x ( x - 2 )) / ((x+2) (x-2))$

Semplifico, quindi:

$(x)/(x+2)$

Ebbene, 1° dubbio.

Facendo limite per x che tende a 2 della funzione scomposta, viene fuori un $2/4$ che diventa $1/2$, ed è il punto di discontinuità?

Grazie mille anticipatamente a tutti.
Ultima modifica di MaRkTheGod il 11/01/2019, 00:43, modificato 1 volta in totale.

Re: Asintoti funzione razionale fratta

10/01/2019, 18:36

MaRkTheGod ha scritto:Sto svolgendo un esercizio dove mi chiede [...]

"Un esercizio dove mi chiede"???

In cui... :lol:

MaRkTheGod ha scritto:[...] di trovare eventuali asintoti di questa funzione:

$f(x)=(x^2-2x)/(x^2-2)$

Il dominio, ovviamente non è definito in -2 e 2.

"Definito" non è un aggettivo riferibile a "dominio", casomai a "funzione".

E poi "ovviamente" manco per idea, dato che $+-2 in "Dom" f$.
Sono altri i punti da escludere.

MaRkTheGod ha scritto:Facendo il limite per x che tende a 2 e -2 viene fuori un $0/0$ che è una forma indeterminata, fin qui ok.

Ma nemmeno per idea.
Infatti $f(2)=(4 -4)/(4-2)=0$, $f(-2)=(4+4)/(4-2)=4$.

MaRkTheGod ha scritto:Ovviamente ci sono due strade:

1) Scompongo

2) Mi avvalgo del Teorema di de l'Hopital.

"Ovviamente"?
Solo due strade?

MaRkTheGod ha scritto:Li ho provati entrambi, e dunque:

Scompongo:

$((x)) ( x - 2 ) / (x+2)/(x-2) $

Certo che se continui a commettere errori da primo superiore non ne esci... O svolgi gli esercizi con attenzione, oppure lasci perdere.

MaRkTheGod ha scritto:Semplifico, quindi:

$(x)/(x+2)$

Ebbene, 1° dubbio.

Facendo limite per x che tende a -2 e 2 della funzione scomposta, viene fuori un $2/4$ che diventa $1/2$, ed è il punto di discontinuità?

A parte problemi di composizione della frase (che non vuol dire nulla in italiano corrente) ed a parte i calcoli svolti male in precedenza, qual è la definizione di punto di discontinuità?

MaRkTheGod ha scritto:Inoltre viene fuori un $-2/0$, che questo limite tende a + o - infinito. (Precisamente limite per x che tende a -2, quindi possiamo affermare che questa funzione ha un asintoto verticale in $x = - 2 $.

Ho provato anche con de l'Hopital [...]

Beh, ma se sbagli tutti i conti dall'inizio...

Re: Asintoti funzione razionale fratta

10/01/2019, 21:42

Ho sbagliato a trascrivere: il denominatore della funzione non è $x^2-2$ bensì $x^2-4$

Re: Asintoti funzione razionale fratta

11/01/2019, 00:12

Ok.
La prossima volta fa più attenzione e ricordati le direttive presenti in questo avviso.

Ad ogni buon conto, la funzione razionale:
\[
f(x) := \frac{x^2 - 2x}{x^2 - 4}
\]
è molto semplice da studiare. Infatti, nel dominio $"Dom" f = RR \setminus \{ +-2\}$ risulta:
\[
f(x) = \frac{x(x-2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{x}{x+2}
\]
ergo il grafico di $f$ è un'iperbole traslata. In paticolare, il grafico di $f$ ha come asintoti le rette di equazioni $y=1$ e $x=-2$ che si trovano in maniera immediata sfruttando la Geometria Analitica delle superiori.

Ponendo di non ricordare gli argomenti di Geometria Analitica, si può procedere nel modo solito dell'Analisi: dato che:
\[
\begin{split}
\lim_{x\to \pm \infty} f(x) &= \lim_{x\to \pm \infty} \frac{x}{x+2} = 1\\
\lim_{x\to -2^\pm} f(x) &= \lim_{x\to -2^\pm} \frac{x}{x+2} = \mp \infty
\end{split}
\]
le rette di equazioni $y=1$ ed $x=-2$ sono, rispettivamente, asintoto orizzontale ed asintoto veritcale (a sinistra in altro e a destra in basso) per il grafico di $f$.

Re: Asintoti funzione razionale fratta

11/01/2019, 00:39

Perfetto grazie!

Ultima cosa: il limite per x che tende a 2 (che riconduce alla forma indeterminata $0/0$) ha come risultato $1/2$. Cosa rappresenterebbe?

Re: Asintoti funzione razionale fratta

11/01/2019, 01:21

Secondo te?

Re: Asintoti funzione razionale fratta

11/01/2019, 02:27

Punto di discontinuità?!

Re: Asintoti funzione razionale fratta

11/01/2019, 02:57

Dipende... Io non lo chiamerei così, ad esempio, perché la definizione che ho io di "punto di discontinuità" non me lo consente.

Tu quale definizione di "punto di discontinuità" usi?

OT grammaticale

11/01/2019, 11:31

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.
dove mi chiede

In italiano è sbagliato, ma lo sento molto spesso. Secondo me è un francesismo. Infatti, "où" in francese è sia un pronome relativo sia un avverbio di luogo.

E adesso che ho fatto questo commento mi sento un piccolo Umberto Eco. :-)

Re: OT grammaticale

11/01/2019, 13:00

dissonance ha scritto:
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dove mi chiede

In italiano è sbagliato, ma lo sento molto spesso. Secondo me è un francesismo. Infatti, "où" in francese è sia un pronome relativo sia un avverbio di luogo.

E adesso che ho fatto questo commento mi sento un piccolo Umberto Eco. :-)

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Francesismo, già.
Anche io in napoletano ho buatta (contenitore di latta dalla forma bassa e larga; per estensione, donna tarchiata) mutuato dal francese “boîte”, ma non lo uso quando scrivo in italiano... :lol:
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