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Discussioni su programma di analisi 1 e 2: numeri complessi, calcolo di una o più variabili reali, equazioni differenziali ordinarie.

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esercizio

12/01/2019, 00:38

salve a tutti,
in questo esercizio:
supposto che per x appartenente all'intervallo $ [2,4]$ sia: $6<=fprimeprime(x)<=8, fprime(2)=4 $e $f(2)=-5 $
$[1] f(3)>=2$
$[2] f(3)>=3$
$3[]f(3)>=4$
$[4]f(3)>=5$


vorrei che mi aiutaste a capire quale teorema o nozione devo utilizzare per affrontare questa tipologia di esercizio.
premetto che non saprei da dove cominciare....

Grazie!
Ultima modifica di cri98 il 12/01/2019, 10:01, modificato 1 volta in totale.

Re: esercizio

12/01/2019, 04:23

Ciao!

Non si capisce cosa tu voglia dimostrare

Re: esercizio

12/01/2019, 10:03

ciao anto_zoolander,

hai ragione mancava una parte dell'esercizio

Grazie :smt023 :smt023

Re: esercizio

12/01/2019, 11:19

Cri, è lo stesso del precedente... Se hai capito come si ragiona in quello, dovresti riuscire a capire come cavartela in questo.
Prova.

Re: esercizio

12/01/2019, 11:23

ciao gugo82,

devo utilizzare sempre Lagrange o utilizzare anche Rolle?
come mi muovo con la derivata seconda?
Grazie!

Re: esercizio

12/01/2019, 12:03

cri98 ha scritto:come mi muovo con la derivata seconda?

La derivata seconda è la derivata prima della derivata prima :D
Prova a ragionare come hai già fatto risalendo le derivate.

Re: esercizio

17/01/2019, 18:17

salve a tutti.

io pensavo per prima cosa di considerare l'intervallo$ [2,3]$
quindi ottengo che$ b-a=3-2=1$

a)$ f(3)>=2$

$ (f(b)-f(a))/(b-a)=( 2-(-5))/1= 7 $ questo mi farebbe presumere che la soluzione $ f(3)>=2$ non sia accettabile, perché $ fprime(2)=4$
il mio dubbio è il seguente: nell'esercizio precedente si considerava che $ f primo(x)=$ numero;
mentre in questo caso ho $ f(2)$ =numero.
il procedimento che sto effettuando è corretto? c'è da fare qualche modifica?
altro dubbio:
come faccio avendo la derivata prima$ f prime(2)=4 $ a calcolare la derivata seconda operativamente?

Grazie a tutti :smt023

Re: esercizio

21/01/2019, 01:03

cri98 ha scritto:supposto che per x appartenente all'intervallo $ [2,4]$ sia: $6<=fprimeprime(x)<=8, fprime(2)=4 $e $f(2)=-5 $
$[1] f(3)>=2$
$[2] f(3)>=3$
$3[]f(3)>=4$
$[4]f(3)>=5$

Il testo non è completo, in quanto bisogna ipotizzare che $f$ sia una funzione derivabile due volte in un intervallo che contiene i punti $2$ e $4$.

Detto ciò, la formula di Taylor al primo ordine col resto nella forma di Lagrange assicura che:
\[
\begin{split}
f(3) & = f(2) + f^\prime (2)\cdot (3-2) + \frac{1}{2}\ f^{\prime \prime} (\xi) \cdot (3-2)^2 \\
&= -5 + 4 + \frac{1}{2}\ f^{\prime \prime} (\xi) \\
&= -1 + \frac{1}{2}\ f^{\prime \prime} (\xi) \;;
\end{split}
\]
tenendo presenti le limitazioni soddisfatte dalla derivata seconda, otteniamo:
\[
2 = -1+3 \leq f(3) \leq -1 + 4 = 3
\]
da cui segue che le alternative proposte sono errate, perché quella giusta vorrebbe essere la [1] e però non si può a priori escludere che $f(3)=3$ soddisfacendo anche la [2].

Re: esercizio

21/01/2019, 11:52

grazie gugo82
finalmente ho capito come approcciarmi a questo esercizio :D :D :D .
procedo con un'altro esempio:
sia$ x $ in $ [2,4] f(2)=3, fprime(2)=1$ e $1<=fprimeprime(x)<=2$ dire quale è la disuguaglianza corretta:
$[1]f(3)<=6$
$[2]f(3)<=3$
$[3]f(3)<=5$
$[4]f(4)<=6$

formula di Taylor al primo ordine col resto nella forma di Lagrange:

$f(3)=f(2)+fprime(2)(b-a)+(fprimeprime(k))/2(b-a)^2$

$f(3)=3+1(3-2)+(fprimeprime(k))/2(3-2)^2$

$f(3)=3+1+(fprimeprime(k))/2$


$4+1/2<=f(3)<=3+1+1$
$9/2<=f(3)<=5$

quindi la risposta corretta è $[3]f(3)<=5$

grazie mille :smt023 :smt023 :smt023
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