Non riesco a risolvere questo limite!

Messaggioda Ema6798 » 12/01/2019, 20:05

Salve!
Qualcuno può aiutarmi a svolgere il seguente limite?
$lim(x->+oo )((1+sen(sen(1/x)))^5-1)/(arcta((2x)/(x^2+1))) $
Ho provato a risolverlo con una calcolatrice ed il risultato sembra essere $5/2$, il che è possibile poichè l'esercizio fa parte di una raccolta di esercizi a risposta multipla e questa soluzione figura tra le risposte.
Non vi chiedo di postare lo svolgimento completo ma vorrei capire qual è la strada da seguire per svolgere questo tipo di limiti, grazie!
Ema6798
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 1 di 110
Iscritto il: 12/01/2019, 19:53

Re: Non riesco a risolvere questo limite!

Messaggioda anto_zoolander » 12/01/2019, 21:03

Ciao!

Per $f(x),g(x)->0$ per $x->+infty$ si ha

$(1+f(x))^k-1 ~ kf(x)$ e $arctan(g(x))~ g(x)$

Usa queste due informazioni.
Error 404
Avatar utente
anto_zoolander
Moderatore
Moderatore
 
Messaggio: 3606 di 9002
Iscritto il: 06/10/2014, 15:07
Località: Palermo

Re: Non riesco a risolvere questo limite!

Messaggioda Ema6798 » 13/01/2019, 22:00

anto_zoolander ha scritto:Ciao!

Per $f(x),g(x)->0$ per $x->+infty$ si ha

$(1+f(x))^k-1 ~ kf(x)$ e $arctan(g(x))~ g(x)$

Usa queste due informazioni.

Ciao! Ti ringrazio per avermi risposto così velocemente, oggi ho ripreso questo limite che ieri non riuscivo a risolvere e utilizzando il tuo spunto forse sono giunto ad una conclusione, spero corretta:

Il limite all'inizio si presenta in una forma indeterminata del tipo $0/0$; Per risolverlo allora, come suggerito applico alcune stime asintotiche per semplificare il calcolo:

Numeratore:

Sappiamo che $(1+f(x))^a -1 ~ a*f(x)$ dunque se $f(x)=sin(sin(1/x))$ ottengo: $5[sin(sin(1/x))]$; Poi sapendo che $sin(h(x)) ~ h(x)$ se $h(x)->0$ e $h(x)$ definitivamente positiva.
Quindi avrò: $sin(sin(1/x)) ~ sin(1/x) ~ 1/x$; il numeratore tende a: $5*(1/x)$

Denominatore:

Al denominatore, invece, sapendo che $arctan(g(x)) ~ g(x)$ avrò che: $arctan((2x)/(x^2+1)) ~ (2x)/(x^2+1)$ raccolgo $x^2$ al denominatore: $(2x)/(x^2(1+(1/x^2))) rArr 2/(x(1+(1/x^2))) ~ 2(1/x)$ perchè $1/x^2rarr0$

Quindi il limite iniziale si riduce al calcolo del seguente limite: $lim(x->+oo )(5*(1/x))/(2*(1/x))$ semplificando $(1/x)$ ottengo: $5/2$
Ema6798
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 2 di 110
Iscritto il: 12/01/2019, 19:53

Re: Non riesco a risolvere questo limite!

Messaggioda anto_zoolander » 14/01/2019, 12:54

Bravo, è corretto.

Due appunti:
- numeratore e denominatore sono “asintotici a” non tendono ad una funzione.
- quello che hai fatto alla fine è usare i teoremi sui limiti considerando che molti si sono implicitamente considerati esistenti e quindi dall’esistenza dell’ultimo limite segue la tesi.
Error 404
Avatar utente
anto_zoolander
Moderatore
Moderatore
 
Messaggio: 3608 di 9002
Iscritto il: 06/10/2014, 15:07
Località: Palermo

Re: Non riesco a risolvere questo limite!

Messaggioda pilloeffe » 14/01/2019, 15:00

Ciao Ema6798,

Benvenuto sul forum!

Il presente solo per segnalare che il limite proposto si poteva risolvere anche solo coi limiti notevoli, infatti si ha:

$\lim_{x \to +\infty}([1+sin(sin(1/x))]^5-1)/(arctan((2x)/(x^2+1))) = $
$ = \lim_{x \to +\infty}\frac{[1+sin(sin(1/x))]^5-1}{sin(sin(1/x))}\cdot \frac{sin(sin(1/x))}{sin(1/x)} \cdot \frac{sin(1/x)}{1/x} \cdot \frac{(2x)/(x^2+1)}{arctan((2x)/(x^2+1))} \cdot (x^2 + 1)/(2x^2) = $
$ = 5 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1/2 = 5/2 $
pilloeffe
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 2364 di 10548
Iscritto il: 07/02/2017, 15:45
Località: La Maddalena - Modena

Re: Non riesco a risolvere questo limite!

Messaggioda Ema6798 » 15/01/2019, 19:06

anto_zoolander ha scritto:Bravo, è corretto.

Due appunti:
- numeratore e denominatore sono “asintotici a” non tendono ad una funzione.
- quello che hai fatto alla fine è usare i teoremi sui limiti considerando che molti si sono implicitamente considerati esistenti e quindi dall’esistenza dell’ultimo limite segue la tesi.


Grazie per la precisazione! :)

pilloeffe ha scritto:Ciao Ema6798,

Benvenuto sul forum!

Il presente solo per segnalare che il limite proposto si poteva risolvere anche solo coi limiti notevoli, infatti si ha:

$ \lim_{x \to +\infty}([1+sin(sin(1/x))]^5-1)/(arctan((2x)/(x^2+1))) = $
$ = \lim_{x \to +\infty}\frac{[1+sin(sin(1/x))]^5-1}{sin(sin(1/x))}\cdot \frac{sin(sin(1/x))}{sin(1/x)} \cdot \frac{sin(1/x)}{1/x} \cdot \frac{(2x)/(x^2+1)}{arctan((2x)/(x^2+1))} \cdot (x^2 + 1)/(2x^2) = $
$ = 5 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1/2 = 5/2 $


Non credo che ci sarei mai arrivato ma, in pratica, così tutto quel limite si riduce alla risoluzione di limiti immediati, grazie del consiglio, proverò ad esercitarmi!
Ema6798
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 3 di 110
Iscritto il: 12/01/2019, 19:53

Re: Non riesco a risolvere questo limite!

Messaggioda anto_zoolander » 15/01/2019, 22:42

Quello che ha fatto piloeffe è identico a quello che hai fatto tu, solo che lui ha scritto tutto, tu hai sottinteso i ‘limiti notevoli’
Error 404
Avatar utente
anto_zoolander
Moderatore
Moderatore
 
Messaggio: 3611 di 9002
Iscritto il: 06/10/2014, 15:07
Località: Palermo


Torna a Analisi matematica di base

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Nessuno e 1 ospite