Studio derivate in funzione a due variabili

[erroreconcettuale]

Buongiorno,
sono piuttosto bloccato nella risoluzione di un esercizio che si presenta del tipo:

"Si consideri la funzione $ f(x,y) = x^2 + y^4 + 64y^2 - 16kxy $. Si stabilisca se (0,0) è punto di massimo/minimo locale/assoluto per $f$."

Operativamente,
1) Calcolo le derivate parziali prime, $f_x$ ed $f_y$
2) Pongo entrambe le derivate uguale a 0 e le metto a sistema; trovo valori di $(x,y)$ che sono punti critici per la funzione
3) Calcolo le derivate parziali seconde, $f_(x x)$, $f_(xy)$, $f_(yy)$
4) Calcolo il determinante $f_(x x)⋅f_(yy) - (f_(xy))^2$
5) Trovo che il determinante è uguale a zero: non posso dire nulla sulla funzione

Come continuo?

[Mathita]

Nel caso in cui l'Hessiano è nullo in un punto stazionario $(x_0,y_0)$, puoi studiare il segno locale della funzione variazione $f(x,y)-f(x_0,y_0)$ e usare le definizioni di massimo e minimo locali.

Se esiste un intorno di $(x_0,y_0)$, chiamiamolo $B_{\delta}(x_0,y_0)$ contenuto nel dominio di $f(x,y)$ tale che:

$f(x,y)-f(x_0,y_0)\ge 0 \ \ \ \forall (x,y)\in B_{\delta}(x_0,y_0)$ allora $(x_0,y_0)$ è un punto di minimo relativo;

$f(x,y)-f(x_0,y_0)\le 0 \ \ \ \forall (x,y)\in B_{\delta}(x_0,y_0)$ allora $(x_0,y_0)$ è un punto di massimo relativo.

Se in ogni intorno di $(x_0,y_0)$, chiamiamolo $B_{\delta}(x_0,y_0)$, la differenza $f(x,y)-f(x_0,y_0)$ è a segno variabile, necessariamente $(x_0,y_0)$ è un punto di sella¹.

Esiste un'ulteriore strategia che consente di affermare che $(x_0,y_0)$ sia effettivamente un punto di sella. Essa prevede di determinare "a occhio" due curve cui appartiene $(x_0,y_0)$ tali che quest'ultimo sia punto di massimo (proprio) sulla restrizione della funzione su una delle curve, e punto di minimo (proprio) sull'altra.

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Note

1. Inteso come punto stazionario che non è né punto di massimo né punto di minimo. ↑

[erroreconcettuale]

Quindi in questo particolare caso come opero?
Tralasciando il $k$ sull'ultimo membro (ho sbagliato), visto che sto studiando la funzione in un intorno di (0,0):

$f(x,y) - f(0,0) = x^2 + y^4 + 64y^2 -16xy$

E adesso?
Pongo questa funzione $>=0$ ?
E poi?

Inoltre, il procedimento da te descritto vale sempre in questo tipo di esercizi, dove l'hessiano è $=0$ ?

[Mathita]

Dal punto di vista teorico, il procedimento vale sempre (sono le definizioni scritte male di punto di massimo, punto di minimo e punto di sella). Dal punto di vista operativo, la risposta alla tua domanda è: dipende! Dipende dall'espressione della funzione, dalla scaltrezza e dalle abilità algebriche del risolutore.

Nel nostro caso:

$f(x,y)-f(0,0)=x^2+y^4+64y^2-16xy=x^2-16x y+64y^2+y^4=(x-8y)^2+y^4$

Ora il segno della differenza dovrebbe essere quanto meno lampante.

[erroreconcettuale]

Ok grazie, sto pian piano capendo.
Ho un ultimo dubbio: come studiare il segno della funzione differenza. MI spiego meglio:

Nel caso in cui il mio punto fosse del tipo $P(0,y)$, e la mia funzione fosse $f(x,y)=x^3y+x^3-x^2y$, troverei che:

$f(x,y) - f(0,y) = (x^3y+x^3-x^2y) - (0)$

E fino a qui, bene. Mi basterebbe solo porre $f(x,y) >= 0$ e studiarne il segno. Il problema si presenta qui, infatti ottengo:

- $ x^2 >= 0 -> x>=0$ (e questa va bene, i valori sono $-$ prima dello zero e sono $+$ dopo lo zero)
- $ xy + x - y >=0$

Come studio il segno di questa disequazione a due incognite? Magari è una domanda banale ma mi blocca completamente la risoluzione dell'intero esercizio!

[Mathita]

Attenzione! Ogniqualvolta che uno studente scrive $x^2\ge 0 \to \ x\ge 0$, un gattino muore. Battute a parte, lo studio della disequazione $xy+x-y\ge 0$ diventa più semplice se si considera l'equazione associata $xy+x-y=0$ e si rappresenta il luogo geometrico che definisce.

In questo caso, possiamo esprimere $y$ in funzione di $x$ come segue:

$xy+x-y=0\ \implies\ y(x-1)=-x\ \implies \ y=\frac{x}{1-x}\ \mbox{per} \ x\ne 1$

che, se ci fai caso, è l'espressione analitica di una funzione omografica. Il suo grafico è noto (è un'iperbole equilatera) e dovresti essere in grado di tracciarlo come si deve¹.

Torniamo a noi. Il grafico spezza il piano cartesiano in tre regioni: la parte compresa tra i rami dell'iperbole e le 2 parti "esterne".

Ora bisogna capire in quale regione la disuguaglianza $xy+x-y\ge 0$ è vera. Per farlo senza tirare in ballo troppa algebra, prendi un punto che giace tra i due rami dell'iperbole²: se le coordinate del punto soddisfano la disequazione, questa sarà soddisfatta per tutti i punti della regione, nella quale la funzione variazione sarà di conseguenza positiva o nulla, negativa o nulla in caso contrario.

Procedi in questo modo per tutte le regioni (non è necessario a dire il vero, però se sei alle prime armi è bene procedere con molta calma) per scoprire che:

- per tutti i punti compresi tra i rami dell'iperbole, la funzione variazione è positiva o al più nulla (in particolare è nulla sui rami dell'iperbole e sulla retta di equazione $x=0$);

- per tutti i punti appartenenti alle regioni rimanenti, la funzione variazione è negativa o al più nulla (in particolare è nulla sulla retta di equazione $x=0$);

A questo punto traccia la retta dei punti stazionari $P(0,y)$ e concludi ragionando bene sulle definizioni che ti ho fornito.

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Note

1. Se così non fosse, prenditi un pomeriggio per ripassare un po' di geometria analitica, ti tornerà utile, promesso! . ↑
2. hai possibilità di scelta, sì, ma non prendere i punti che appartengono all'iperbole perché non ti danno informazioni utili allo scopo. ↑