Integrale indefinito

$int (2cosxsinx)/(cos^2x+4cosx+7)$ ho usato la sostituzione $t=cos^2x$ e mi sono ricondotto ad un integrale del tipo $1/(t+4sqrt(t)+7)$ successivamente $1/((sqrt(t)+2)^2+3)$ da qui banalmente raccolgo il tre e lo porto dentro il quadrato come $sqrt(3)$ e mi riconduco ad un $tan^(-1)(...)$ cosa ho sbagliato? Il risultato secondo la prof è sbagliato

Ciao, provo a risponderti io anche se sono nuovo del forum
Dunque... il fatto è che all'interno dell'integrale:
\( \displaystyle \int{\frac{1}{(\sqrt{t}+2)^2+3}dt} \)
hai $\sqrt{t}$ e non $t$. Quindi non puoi risolverlo direttamente come arcotangente; prima dovresti, ad esempio, sostituire $u = \sqrt{t}$ e poi proseguire.
Quindi:
\( \displaystyle \int{\frac{1}{(\sqrt{t}+2)^2+3}dt} = 2 \int{\frac{u}{(u+2)^2+3}du} \)
eccetera.
Ovviamente spero che qualcuno più esperto di me in materia ti confermi quello che ho detto, ma penso che la risposta al tuo problema sia questa

Ma no perchè la derivata dell'arcotangente è $1/(x^2+1)$ e avendo un unico addendo a denominatore al quadrato si ha l'arctan di quell'addendo

Fai MOLTO prima a scrivere il risultato e calcolarne la derivata, usando un software se non ti va di fare calcoli. Se ritrovi la funzione integranda, è giusto. Altrimenti è sbagliato.

Ciao Felix123321,

L'integrale proposto è il seguente:

$int (2cosxsinx)/(cos^2x+4cosx+7)\text{d}x $

Per risolverlo più rapidamente, prova a porre $t := cos x \implies \text{d}t = - sin x \text{d}x $...

Ma no perchè la derivata dell'arcotangente è $1/(x^2+1)$ e avendo un unico addendo a denominatore al quadrato si ha l'arctan di quell'addendo

Uhm se ho capito bene tu intendi dire questo:
\( \displaystyle \int{\frac{f'(x)}{1+[f(x)]^2}}=arctan(f(x))+c \)
ma come vedi funziona solamente se hai $f'(x)$ al numeratore!
Spero di essermi spiegato meglio