Ciao, provo a risponderti io anche se sono nuovo del forum
Dunque... il fatto è che all'interno dell'integrale:
\( \displaystyle \int{\frac{1}{(\sqrt{t}+2)^2+3}dt} \)
hai $\sqrt{t}$ e non $t$. Quindi non puoi risolverlo direttamente come arcotangente; prima dovresti, ad esempio, sostituire $u = \sqrt{t}$ e poi proseguire.
Quindi:
\( \displaystyle \int{\frac{1}{(\sqrt{t}+2)^2+3}dt} = 2 \int{\frac{u}{(u+2)^2+3}du} \)
eccetera.
Ovviamente spero che qualcuno più esperto di me in materia ti confermi quello che ho detto, ma penso che la risposta al tuo problema sia questa