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Integrale indefinito

MessaggioInviato: 14/01/2019, 12:42
da Felix123321
$int (2cosxsinx)/(cos^2x+4cosx+7)$ ho usato la sostituzione $t=cos^2x$ e mi sono ricondotto ad un integrale del tipo $1/(t+4sqrt(t)+7)$ successivamente $1/((sqrt(t)+2)^2+3)$ da qui banalmente raccolgo il tre e lo porto dentro il quadrato come $sqrt(3)$ e mi riconduco ad un $tan^(-1)(...)$ cosa ho sbagliato? Il risultato secondo la prof è sbagliato

Re: Integrale indefinito

MessaggioInviato: 14/01/2019, 13:32
da Jamie58
Ciao, provo a risponderti io anche se sono nuovo del forum :D
Dunque... il fatto è che all'interno dell'integrale:
\( \displaystyle \int{\frac{1}{(\sqrt{t}+2)^2+3}dt} \)
hai $\sqrt{t}$ e non $t$. Quindi non puoi risolverlo direttamente come arcotangente; prima dovresti, ad esempio, sostituire $u = \sqrt{t}$ e poi proseguire.
Quindi:
\( \displaystyle \int{\frac{1}{(\sqrt{t}+2)^2+3}dt} = 2 \int{\frac{u}{(u+2)^2+3}du} \)
eccetera.
Ovviamente spero che qualcuno più esperto di me in materia ti confermi quello che ho detto, ma penso che la risposta al tuo problema sia questa :)

Re: Integrale indefinito

MessaggioInviato: 14/01/2019, 14:37
da Felix123321
Ma no perchè la derivata dell'arcotangente è $1/(x^2+1)$ e avendo un unico addendo a denominatore al quadrato si ha l'arctan di quell'addendo

Re: Integrale indefinito

MessaggioInviato: 14/01/2019, 14:47
da dissonance
Fai MOLTO prima a scrivere il risultato e calcolarne la derivata, usando un software se non ti va di fare calcoli. Se ritrovi la funzione integranda, è giusto. Altrimenti è sbagliato.

Re: Integrale indefinito

MessaggioInviato: 14/01/2019, 14:56
da pilloeffe
Ciao Felix123321,

L'integrale proposto è il seguente:

$int (2cosxsinx)/(cos^2x+4cosx+7)\text{d}x $

Per risolverlo più rapidamente, prova a porre $t := cos x \implies \text{d}t = - sin x \text{d}x $... :wink:

Re: Integrale indefinito

MessaggioInviato: 14/01/2019, 17:56
da Jamie58
Felix123321 ha scritto:Ma no perchè la derivata dell'arcotangente è $1/(x^2+1)$ e avendo un unico addendo a denominatore al quadrato si ha l'arctan di quell'addendo

Uhm se ho capito bene tu intendi dire questo:
\( \displaystyle \int{\frac{f'(x)}{1+[f(x)]^2}}=arctan(f(x))+c \)
ma come vedi funziona solamente se hai $f'(x)$ al numeratore!
Spero di essermi spiegato meglio :)