Criterio del confronto serie a termini positivi

[TS778LB]

Date due serie a termini non negativi $ \sum_{n=1}^\inftya_n $ e $ \sum_{n=1}^\inftyb_n $ che verificano la condizione $ 0\lea_n\leb_n $ definitivamente, si ha: $ \sum_{n=1}^\inftyb_n $ convergente implica $ \sum_{n=1}^\inftya_n $ convergente; $ \sum_{n=1}^\inftya_n $ divergente implica $ \sum_{n=1}^\inftyb_n $ divergente.
Per la dimostrazione della prima implicazione partendo dall'ipotesi $ 0\lea_n\leb_n $ ho assunto che, per come sono costruite le successioni delle somme parziali, sarà vero anche $ \sum_{k=1}^na_k\le\sum_{k=1}^nb_k $ che in forma compatta equivale a $ s_n\let_n $. Sapendo che $ \sum_{n=1}^\inftyb_n $ converge, so che $t_n$ ha limite finito. Riprendendo la relazione $ s_n\let_n $, posso affermare direttamente che anche $s_n$ avrà limite finito in quanto successione monotona crescente e in quanto sempre minore o uguale a $t_n$?

[dissonance]

Quasi. Ti serve una stima \(s_n\le T\), dove \(T\ge 0\) è un numero indipendente da \(n\); con questa stima puoi applicare il teorema fondamentale sulle successioni monotone crescenti (esse ammettono limite se e solo se esse sono limitate superiormente).

Tu dici, giustamente, che \(s_n\le t_n\). Vero. Ma tu sai anche che \(t_n\nearrow T\), dove \(T\) è la somma della serie \(\sum b_n\)...